Was ist der Nullstellenpunkt bzw Punkte, Hoch- und Tiefpunkt und Wende- und Sattelpunkt von der Funktion und wie …

Question

Aufgabe:

f(x)= x⁴ - 6x²+5

Problem/Ansatz:

Was ist der Nullstellenpunkt bzw. Punkte, Hoch- und Tiefpunkt und Wende- und Sattelpunkt von der Funktion und wie kommt man darauf? (Differentialrechnung/Ableitungen)

Gruß

Answer 1

Aloha :)

Für die gegebene Funktion$$f(x)=x^4-6x^2+5$$suchen wir zwei Zahlen mit der Summe $(-6)$ und dem Produkt $5$. Das leisten die Zahlen $(-5)$ und $(-1)$. Damit können wir den Funktionsterm umschreiben:$$f(x)=(x^2-5)(x^2-1)\stackrel{\text{(3-te bin. Formel})}{=}(x-\sqrt5)(x+\sqrt5)(x-1)(x+1)$$Wir lesen 4 Nst. ab: $\quad N_1(-1|0)\quad;\quad N_2(1|0)\quad;\quad N_3(-\sqrt5|0)\quad;\quad N_4(\sqrt5|0)$

Wir formen die Funktion mit Hilfe der quadratischen Ergänzung erneut um:$$f(x)=(x^4-6x^2+\overbrace{9)-4}^{=5}\stackrel{(\text{1-te bin. Formel}}{=}(x^2-3)^2-4$$Die Klammer hat ihren minimalen Wert $0$ bei $x=\pm\sqrt3$, sodass die Funktion dort ihren minimalen Wert $(-4)$ annimmt.

Wir haben also zwei Minima bei: $\quad\text{Min}_1(-\sqrt3|-4)\quad;\quad\text{Min}_2(\sqrt3|-4)$

Da alle Potenzen in $f(x)$ gerade sind, ist die Funktion achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Weiter wissen wir, dass zwischen zwei Minima ein Maximum liegen muss. Also muss exakt in der Mitte der Minima ein Maximum liegen.

Wir haben also ein Maximum bei: $\quad\text{Max}(0|5)$

Mehr als 3 Extrema kann die Funktion nicht haben, weil ihre erste Ableitung ein Polynom 3-ter Ordnung ist, das maximal 3 Nullstellen haben kann.

Kandidaten für Wendepunkte sind die Nullstellen der zweiten Ableitung:

$$f'(x)=4x^3-12x$$$$f''(x)=12x^2-12=12(x^2-1)=12(x-1)(x+1)$$$$f'''(x)=24x$$Die Nullstellen der zweiten Ableitung liegen bei $\pm1$. Die 3-te Ableitung ist an diesen beiden Stellen $\ne0$, also finden wir bei $\pm1$ nicht nur Nullstellen, sondern sogar Wendepunkte.

Wir haben also 2 Wendepunkte: $\quad W_1(-1|0)\quad;\quad W_2(1|0)$

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f₁(x) = x⁴-6x²+5Zoom: x(-3…3) y(-5…10)

Answer 2

x⁴ - 6x²+5 = 0 

(x²-1) * ( x² -5) = 0

Nullstellen also ±1 und ±√5