Zu a)
bezüglich der üblichen Addition und Multiplikation von Matrizen
Damit nehme ich an, dass Assoziativgesetz für Addition und Multiplikation, bzw. Kommutativgesetz für die Addition und die Distributivitätsgesetze (links- und rechtsseitig) bereits bewiesen wurden.
Weiter gibt es zu jeder \(M=(m_{ij})\in T_{n}(\mathbb{K})\) das bzgl. Addition inverse Element \(M'=(-m_{ij})\in T_n(\mathbb{K})\).
Das bzgl. Addition neutrale Element ist dann offenbar \(E_+ = (e_{ij})\in T_n(\mathbb{K})\) mit \(\forall i,j\in \{1,...,n\}: \ e_{ij}=0\).
Damit ist \((T_n(\mathbb{K}), +)\) eine abelsche Gruppe.
Bezüglich Multiplikation gibt es das neutrale Element \(E_{\cdot}=(e_{ij})\in T_n(\mathbb{K})\) mit \(\forall i\in \{1,...,n\}: \ e_{ii}=1\).
Damit ist \((T_n(\mathbb{K}),\cdot)\) ein Monoid.
Da zusätzlich die Distributivitätsgesetze gelten, ist \((T_n(\mathbb{K}), +, \cdot)\) ein Ring mit Einselement.
Zu b)
Vorab: Für zwei beliebige Matrizen \(M=(m_{ij}),N=(n_{ij})\in T_n(\mathbb{K})\) sowie \(T=M\cdot N = (t_{ij})\in T_n(\mathbb{K})\) gilt:
\(t_{ii}=\sum\limits_{j=1}^n m_{ij} \cdot n_{ji} = \sum\limits_{j=1}^{i-1} m_{ij}\cdot n_{ji} + m_{ii}\cdot n_{ii} + \sum\limits_{j=i+1}^{n} m_{ij}\cdot n_{ji}\) für alle \(i\in \{1,...,n\}\).
Wegen \(m_{ij}=0\) für \(i>j\) folgt dann \(\sum\limits_{j=1}^{i-1} m_{ij}\cdot n_{ji}=0\) und analog folgt wegen \(n_{ij}=0\) für \(i>j\), d.h. \(n_{ji}=0\) für \(j>i\) dann \(\sum\limits_{j=i+1}^{n} m_{ij}\cdot n_{ji}=0\).
Entsprechend gilt also \(t_{ii} = m_{ii}\cdot n_{ii}\).
Es handelt sich bei \(\phi_k\) für jedes \(k\in \{1,...,n\}\) offenbar um eine Abbildung zwischen zwei Ringen (\(T_n(\mathbb{K})\) ist wg. a) ein Ring, \(\mathbb{K}\) per Definition als Körper).
Es gilt zusätzlich offenbar für alle \(M=(m_{ij}),N=(n_{ij})\in T_n(\mathbb{K})\):
\(\phi_k(M+N)=\phi_k((m_{ij})+(n_{ij})) = \phi_k((m_{ij}+n_{ij})) = m_{kk}+n_{kk} = \phi_k((m_{ij})) + \phi_k((n_{ij})) = \phi_k(M)+\phi_k(N)\)
und (vgl. oben)
\(\phi_k(M\cdot N) = \phi_k((m_{ij})\cdot (n_{ij})) = m_{kk}\cdot n_{kk} = \phi_k((m_{ij}))\cdot \phi_k((n_{ij})) = \phi_k(M)\cdot \phi_k(N)\)
Damit ist \(\phi_k\) für alle \(k\in \{1,...,n\}\) ein Ringhomomorphismus.
