Zeigen Sie durch vollständige Induktion die Formel .

Question

Aufgabe:

… Sei (K, +, ·) ein Köper und sei q ∈ K \ {1}. Zeigen Sie durch vollständige Induktion die Formel .

summe q^k von k= 0 bis n-1 = (qⁿ -1) / ( q-1) fur alle n in N*

Problem/Ansatz:

sollte man Induktionsanfang gleich 2?

Answer 1

N* beginnt mit n=1

$\sum \limits_{k=0}^{0} q^0 = \frac{q^1 - 1}{q^1 - 1}$

Also q⁰=1

Nimm an, es gilt für ein n, also Summe bis n-1

Dann zeige es für n+1 etwa so:

$\sum \limits_{k=0}^{n} q^k = \sum \limits_{k=0}^{n-1} q^k + q^{n}$

Annahme einsetzen gibt $=\frac{q^n -1}{q-1}+ q^{n}$

Zeigen, dass dies gleich ist mit $=\frac{q^{n+1} -1}{q-1}$

Comments

Ich denke man muss auch sagen dass q=2 .ja oder?

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Nein q ∈ K \ {1} , aber wohl q≠0, denn

0⁰ ist ja im allg. nicht def.

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noch ne frage : wie kann man das für n = n+1 zeigen?