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Aufgabe:

Zeigen Sie, dass

B := { \( \begin{pmatrix} 4\\1\\2\\-1 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 3\\2\\-1\\3 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\3\\-4 \end{pmatrix} \) 

ein Erzeugendensystem für den R-Vektorraum

V := { \( \begin{pmatrix} 2y+z\\y\\z\\y-z \end{pmatrix} \) : y ∈ R, z ∈ R}

ist, also:

a) Jedes Element aus B liegt in V.

b) Jedes Element aus V ist eine Linearkombination der Elemente aus B.

Problem/Ansatz:

B muss ja die Basis für V sein, sprich ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V.

Um dies zu beweisen, würde ich ein lineares Gleichungssystem aufstellen. Wenn ich das LGS lösen kann, ist das Erzeugendensystem linear unabhängig, sprich ich jedes Element aus B liegt in V.

Wäre nur "R" gegeben (also ohne die Eigenschaften), hätte ich

\( \begin{pmatrix} x1\\x2\\x3\\x4 \end{pmatrix} \) = und die 3 Vektoren aus B in ein LGS geschrieben und aufgelöst.

Wie genau soll ich das LGS hier aufstellen, die Eigenschaften von V verwirren mich irgendwie :(

vor von

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo

a) ist ja einfach nur nachrechnen.

b) ist am einfachsten, indem du eine Basis von V auf stellst, z.B y=1,z=0 und y=0,z=1

dann zeigen dass du mit B diese Basis erzeugen kannst,

Gruß lul

vor von 69 k 🚀

Also erstelle ich bei a) einfach ein LGS, aber wie genau?

\( \begin{pmatrix} 2y+z\\y\\z\\y-z \end{pmatrix} = \) λ1\( \begin{pmatrix} 4\\1\\2\\-1 \end{pmatrix} \) + λ2\( \begin{pmatrix} 3\\2\\-1\\3 \end{pmatrix} \) + λ3\( \begin{pmatrix} 1\\-1\\3\\-4 \end{pmatrix} \)

(Eventuell sind meine LGS-Kenntnisse eingerostet?)


b) klingt plausibel

Beispielsweise 4λ1 + 3λ2 + 1λ3  = 2y + z ?

                       usw.

Hallo

mit einfach nur nachrechnen meinte ich du musst nur die V Eigenschaft der 2 Vektoren nach wiesen, etwa beim ersten y=1,z=2 2y+z=4 und y-z=-1 also gehört der erste Vektor zu V

entsprechend die 2 anderen.

da V 2d ist, braucht man nur 2 der Lin unabhängigen aus B um V zu erzeugen.

Dein Weg ist nicht falsch aber umständlicher!

Gruß lul

Ah, das ergibt Sinn!

Einfach jeweils die 4 Werte einsetzen und ausrechnen, damit hat man sich das LGS gespart und es wurde nachgewiesen, dass alle Elemente aus B, sprich die 3 Vektoren in V liegen, da die Gleichungen richtig sind.

"da V 2d ist, braucht man nur 2 der Lin unabhängigen aus B um V zu erzeugen."

Meinst du damit 2 Vektoren? Ich konnte dies ja einfach mit einem einzelnen Vektor machen?

Hallo mit einem Vektor kann man doch nicht einen 2d Raum aufspannen oder erzeugen? y und z sind doch beliebig?

lul

Aber V ist ja nur der Bereich und seine Eigenschaft? Soll ich einfach irgendeinen Vektor aus V erzeugen oder wie?

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