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Aufgabe:

Weise nach, dass fur d = ggT(a, b) gilt, dass dZ = aZ + bZ.
Anleitung: Verwende die Definitionen der vorkommenden Größen und begründen Sie damit die
behauptete Gleichheit der Mengen dZ und aZ + bZ mittels sogenannter doppelter Inklusion. Dies bedeutet,
dass in zwei Schritten argumentiert werden soll:
• Im ersten Schritt weise nach, dass dZ ⊆ aZ + bZ, d.h., dass aus x ∈ dZ folgt, dass x ∈ aZ + bZ.
• Im zweiten Schritt weise nach, dass dZ ⊇ aZ + bZ, d.h., dass aus x ∈ aZ + bZ folgt, dass x ∈ dZ


Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre d ∈ N ist ein ggT von a und, wenn d|b und d|a und für jeden Teiler t von a und b gilt, dass auch t|d.

Daraus folgt, dass der ggT existiert. a,b ∈ aZ + bZ = dZ. d|a und d|b und d sind Teiler von a und b.

Wie beweise ich das mit zwei Schritten bzw. mit doppelter Inklusion?
Ich würde mich sehr um Ansatzhilfen freuen!


LG
pharmacyl

vor von

Was bedeutet für Euch die Schreiweise aZ + bZ. einfach, dass da a*z1+b*z2 steht?

dZ = Alle Vielfachen vom ggT

Also alle Vielfachen von a und b sind dZ.

aZ =  Alle Vielfachen von a

bZ = Alle Vielfachen von b

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Beste Antwort
weise nach, dass dZ ⊆ aZ + bZ

Sei \(x \in d\mathbb{Z}\).

Sei \(v\in \mathbb{Z}\) mit \(x = vd\). Ein solches \(v\) existiert laut Definition von \(d\mathbb{Z}\).

Seien \(p,q \in \mathbb{Z}\) mit \(d = pa+qb\). Solche \(p\) und \(q\) existieren, weil sie wegen \(d=\operatorname{ggT}(a,b)\) mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus berechnet werden können.

Dann ist

        \(x = vd = v(pa+qb) = (vp)a + (vq)b\).

Wegen \(v\in \mathbb{Z}\) und \(p\in \mathbb{Z}\) und weil \(\mathbb{Z}\) ein Ring ist, ist \(vp\in\mathbb{Z}\).

Wegen \(vp\in\mathbb{Z}\) ist \((vp)a \in a\mathbb{Z}\).

Analog dazu ist \((vq)b \in b\mathbb{Z}\).

Also ist laut Defnition der Mengenaddition \((vp)a + (vq)b \in a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z}\).

Also ist auch \(x\in a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z}\).

d ∈ N ist ein ggT von a

Der \(\operatorname{ggT}\) wird üblicherweis von mindestens zwei Zahlen bestimmt.

Daraus folgt, dass der ggT existiert.

Wegen \(1|a\) und \(1|b\) für alle \(a,b\in\mathbb{Z}\) existiert \(\operatorname{ggT}(a,b)\) immer. Findet man keinen größeren gemeinsamen Teiler als \(1\), dann ist halt \(\operatorname{ggT}(a,b) = 1\). Du brachst deshalb nicht extra zu schlussfolgern, dass der \(\operatorname{ggT}\) existiert.

Wie beweise ich das mit zwei Schritten bzw. mit doppelter Inklusion?

Der eine Schritt ist, dass du die Inklusion \(d\mathbb{Z} \subseteq a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z}\) zeigst.

Der andere Schritt ist, dass du die Inklusion \(a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z}\subseteq d\mathbb{Z}\) zeigst.

Den einen Schritt habe ich dir oben gezeigt. Zum anderen Schritt:

Sei \(x\in a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z}\).

Seien \(p,q \in \mathbb{Z}\) mit \(pa+qb = x\). Begründe warum solche \(p\) und \(q\) existieren.

Seien \(r,s \in \mathbb{Z}\) mit \(rd = a\) und \(sd = b\). Begründe warum solche \(r\) und \(s\) existieren.

Begründe damit, warum \(x\in d\mathbb{Z}\) ist.

vor von 79 k 🚀

Danke für deine Erklärung zum ersten Schritt!! :) Um zu zeigen, dass x aus dZ ist, würde ich die Eigenschaft des ggT benutzen.

d=ggT(a,b) und daraus folgt, dass x ∈ dZ ist und somit ist dZ eine Obermenge von aZ + bZ


Ist das soweit korrekt?

LG

d=ggT(a,b)

Ja, das steht so in der Aufgabenstellung.

und daraus folgt, dass x ∈ dZ

Mir ist nicht klar, wie du darauf kommst.

Ich dachte, das leitet sich so von der Eigenschaft des ggT ab?

Sei \(x\in a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z}\).


Seien \(p,q \in \mathbb{Z}\) mit \(pa+qb = x\). Begründe warum solche \(p\) und \(q\) existieren.

Solche p und q existieren, weil jedes Vielfache von a und jedes Vielfache von b ein Vielfaches vom ggT ist?

Analog auch für r und s.

Ich denke ich verstehe deinen Ansatz:

x=pa+qb

rd = a

sd = b

x = p*rd + q *sd

oder?

Mir ist nicht klar, welche Eigenschaft des ggT du meinst.

Wie kann ich \(x\) mittels \(p\), \(q\), \(r\), \(s\) und \(d\) zusammenbauen?

Eigenschaft des ggT:
ggT(a, b) = ggT(a, b − qa) für alle q ∈ Z.


Indem ich sage alle Vielfachen von a und alle Vielfachen von b sind in der Menge des ggT enthalten

Alles klar.. Ich gebe es auf, ich weiß nicht wie ich genau auf die Lösung komme. Bin mit meinen Ansätzen wohl auf dem Holzweg

x = p*rd + q *sd

Genau so sieht's aus.

Jetzt d ausklammern liefert

        x = (pr+qs)d

Wegen pr+qs ∈ ℤ ist x ein ganzzahliges Vielfaches von d, also ist x ∈ dℤ.

Vielen Dank für deine Hilfe!!

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