Zeigen Sie, dass (K, +, ·) noch kein Körper zu

Question

Aufgabe:

Sei K eine Menge mit Verknüpfungen + und ·. Zeigen Sie, dass (K, +, ·) noch kein Körper zu
sein braucht, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:
(1) (K, +) ist eine abelsche Gruppe.
(2) (K \ {0}, ·) ist eine abelsche Gruppe.
(3) ∀a, b, c ∈ K : a(b + c) = ab + ac.
(Hinweis: Finden Sie durch geeignete Wahl von +, · ein Gegenbeispiel für K := {0, 1}.)

Problem/Ansatz:

Comments

 + so definieneren:

1+1=1   1+0=0

0+1=0   0+0=1

* so:

0*0=1   0*1=1

1*0=1   1*1=1

dann ist das Distributivgesetz auch erfüllt

a*(b+c) = 1 = 1 + 1 = a*b + a*c

Was geht hier schief?

Answer 1

In einem Körper ist die Multiplikation kommutativ.

(1) (K, +) ist eine abelsche Gruppe.

Auf K := {0, 1} gibt es nur eine Möglichkeit, wie die Addition definiert sein kann.

(2) (K \ {0}, ·) ist eine abelsche Gruppe.

Das garantiert Kommutativität der Multiplikation auf K\{0}, aber nicht auf ganz K.

Wäre K ein Körper, dann müsste die Multiplikation aber auf ganz K kommutativ sein.

(3) ∀a, b, c ∈ K : a(b + c) = ab + ac.

Wäre die Multiplikation auf ganz K kommutativ, dann würde daraus

        (3') ∀a, b, c ∈ K : (b + c)a = ba + ca

folgen. Das Axiom (3') fehlt aber gegenüber der üblichen Formulierung der Körperaxiome. Also muss K die Kommutativität der Multiplikation auf K verletzen.

ein Gegenbeispiel für K := {0, 1}

Die Kommutativität der Multiplikation auf K kann unter Beachtung von (2) nur dann verletzt sein, wenn 0·1 ≠ 1·0 ist.

Stelle geeignete Verknüpfungstafeln für Addition und Multiplikation auf, die (1), (2) und (3) erfüllen, bei der aber die Multiplikation auf K nicht kommutativ ist.