Aloha :)
Die Potenzreihendarstellung der \(e\)-Funktion lautet:$$e^x=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$$Daraus erhalten wir zunächst:$$e^x=1+\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n!}=1+\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\quad\stackrel{x=1}{\implies}\quad\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{(n+1)!}=e-1$$Wir erweitern nun die Potenzreihendarstellung der \(e\)-Funktion mit \((n+1)\):$$e^x=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(n+1)x^n}{(n+1)!}\quad\stackrel{(x=1)}{\implies}\quad\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{n+1}{(n+1)!}=e$$Da beide Teilsummen konvergieren, konvergiert auch die Differenz:$$\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{n}{(n+1)!}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{n+1}{(n+1)!}-\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{(n+1)!}=e-(e-1)=1$$
Unsere Summe beginnt jedoch erst bei \(n=5\), sodass wir die Summe der ersten fünf Folgengleider subtrahieren müssen:$$\frac{0}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\frac{4}{5!}=\frac{119}{120}$$
Damit haben wir schließlich den gesuchten Grenzwert gefunden:$$\sum\limits_{n=5}^\infty\frac{n}{(n+1)!}=\frac{1}{120}$$
