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Aufgabe: Zaubertrick mit Binärzahlen (mit allen Zahlen von 1 bis 127)


Problem/Ansatz:

ich wüsste gern welche Zahlen bei dem Zaubertrick mit Binärzahlen mit allen Zahlen von 1 bis 127 auf welche Karten kommen und wieso.

Ich weiß bereits, dass es 7 Karten sein müssen und die 127 auf jeder Karte ist. Weiter komme ich aber leider nicht.

Der Trick hier ist, dass wenn sich jemand im Bereich der gegebenen Zahlen eine Zahl davon denkt und dann sagt, auf welchen Karten seine Zahl vorhanden ist, dann kann man schnell herausfinden welche Zahl sich die Person gedacht hat.

von

1 Antwort

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Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

ich wüsste gern welche Zahlen bei dem Zaubertrick mit Binärzahlen mit allen Zahlen von 1 bis 127 auf welche Karten kommen und wieso.

Den Zaubertrick hast Du nicht beschrieben.

Ich vermute, dass auf jeder der 7 Karten entweder eine 2er-Potenz steht. Also:$$1,\,2,\,4,\,8,\,16,\,32,\,64$$oder für eine dieser 2'er-Potenzen steht und es stehen mehrere Zahlen auf den Karten und zwar immer die, die die jeweilige Binäre Ziffer im Binärssytem enthalten.

Wenn jemand mehrere dieser Karten dann wählt, gibt er damit implizit die 1'en seiner Zahl im Binärsystem an.

Beispiel: er wählt die erste und die letzte Karte: das ist dann \(1000001_2 = 2^0+2^6 = 1+64 =65\)

Beschreib' uns bitte mal genau wie der Zaubertrick vor sich geht. Und frage bitte nach, wenn was unklar ist.


... aber wie werden nun die restlichen Zahlen auf den Karten verteilt? Mithilfe des Binärsystems? Das verstehe ich noch nicht so ganz wie man da vorgeht.

ich zeige es mal für 4 Karten. Das Prinzip bleibt aber immer das selbe.

Bei 4 Karten sind es 4 Binärstellen und damit stehen uns die Zahlen \(1\) bis \(1111_2=15\) zur Verfügung, wenn man die \(0\) mal weg lässt. Auf der ersten (niedrig stelligen) Karte sind alle Zahlen, die als letzt Binärziffer eine \(1\) haben. Das sind alle ungeraden Zahlen$$\begin{aligned} 000{\color{red}1}_2 &= 1 \\ 001{\color{red}1}_2 &= 3 \\ 010{\color{red}1}_2 &= 5 \\ 011{\color{red}1}_2 &= 7 \\ 100{\color{red}1}_2 &= 9 \\ 110{\color{red}1}_2 &= 11 \\ 101{\color{red}1}_2 &= 13 \\ 111{\color{red}1}_2 &= 15 \\ \end{aligned}$$wir geben dieser Karte den Exponenten \(0\). Auf die nächste Karte (Exponent \(1\)) kommen alle Zahlen, deren zweite Binärstelle eine \(1\) ist$$\begin{aligned} 00{\color{red}1}0_2 &= 2 \\ 00{\color{red}1}1_2 &= 3 \\ 01{\color{red}1}0_2 &= 6 \\ 01{\color{red}1}1_2 &= 7 \\ 10{\color{red}1}0_2 &= 10 \\ 10{\color{red}1}1_2 &= 11 \\ 11{\color{red}1}0_2 &= 14 \\ 11{\color{red}1}1_2 &= 15 \\ \end{aligned}$$und für die Exponenten \(2\) und \(3\) geht es entsprechend weiter:$$\begin{aligned} 0{\color{red}1}00_2 &= 4 \\ 0{\color{red}1}01_2 &= 5 \\ 0{\color{red}1}10_2 &= 6 \\ 0{\color{red}1}11_2 &= 7 \\ 1{\color{red}1}00_2 &= 12 \\ 1{\color{red}1}10_2 &= 13 \\ 1{\color{red}1}01_2 &= 14 \\ 1{\color{red}1}11_2 &= 15 \\ \end{aligned}\quad \quad \begin{aligned} {\color{red}1}000_2 &= 8 \\ {\color{red}1}001_2 &= 9 \\ {\color{red}1}010_2 &= 10 \\ {\color{red}1}011_2 &= 11 \\ {\color{red}1}100_2 &= 12 \\ {\color{red}1}110_2 &= 13 \\ {\color{red}1}101_2 &= 14 \\ {\color{red}1}111_2 &= 15 \\ \end{aligned}$$Wenn nun eine oder mehre Karten ausgewählt werden, so zählst Du nur die 2'er-Potenzen der jeweiligen Exponenten der gewählten Karten zusammen. Das ist jeweils die erste Zahl, die auf jeder Karte steht. Also 1,2,4 oder 8.

Falls Du noch Fragen hast, z.B. wie man von der Binärzahl zur Dezimalzahl kommt, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

von 40 k

ich glaube Du meinst solche Karten - oder?

Dann ist es so wie ich es in meiner Antwort beschrieben habe. Entweder Du addierst die erste Zahl auf jeder gezogenen Karte oder Du "übersetzt" die gezogen bzw. gewählte Karte als die Ziffer \(1\) im Binärsystem und 'erkennst' anschließend die Zahl. Für letzteres braucht man aber Übung ;-)

Genau solche Karten meine ich! Und auf diesen Karten sind die Zahlen ja nach einer Ordnung verteilt. Nun soll ich das ganze jedoch erweitern auf die Zahlen von 1 bis 127. Das mit den 2er Potenzen habe ich verstanden, aber wie werden nun die restlichen Zahlen auf den Karten verteilt? Mithilfe des Binärsystems? Das verstehe ich noch nicht so ganz wie man da vorgeht.

Das verstehe ich noch nicht so ganz wie man da vorgeht.

Ich habe meine Anwort noch mal erweitert (s.o.)

Das dürfte ohne Programmierung eine ziemliche Plackerei werden: Die erste Karte ist klar, die ungeraden,

2^1 ff:

\(\scriptsize \left(\begin{array}{rrrrrrrr}2&3&6&7&10&11&14&15\\18&19&22&23&26&27&30&31\\34&35&38&39&42&43&46&47\\50&51&54&55&58&59&62&63\\66&67&70&71&74&75&78&79\\82&83&86&87&90&91&94&95\\98&99&102&103&106&107&110&111\\114&115&118&119&122&123&126&127\\\end{array}\right)\)

passt das?

Das dürfte ohne Programmierung eine ziemliche Plackerei werden

Keineswegs. Ok - das sind viele Zahlen, wenn man die selber und einzeln mit der Hand schreibt. Aber einen Rechner braucht man dazu nicht.

Vielmehr macht (oder denkt) man sich eine Tabelle. Oben links schreibt man die gewünschte 2'er-Potenz rein. Also für die zweite Karte eine \(2^{2-1}=2\), für die dritte eine \(2^{3-1}=4\) usw. Diese Zahl gibt dann auch gleich die Anzahl der Spalten in der Tabelle vor.

Links neben die Zeilen schreibt man nur ungeraden Zahlen, beginnend mit 1. Und die erste Spalte füllt man nun mit dem Produkt dieser ungeraden Zahl und der 2'er-Potenz oben links.

Hier mal am Beispiel der dritten Karte mit \(2^{3-1}=4\) gezeigt:$$\begin{array}{r|}2^{3-1}& 1& 2& 3& 4\\\hline 1& 4& 5& 6& 7\\ 3& 12& 13& 14& 15\\ 5& 20& 21&\dots& \\ 7& 28& & & \\ \vdots& & & & \\ 29& 116& 117& \dots& \\ 31& 124& 125& 126& 127\\ 33& \cancel{132}& & & \end{array}$$nach links innerhalb einer Zeile sind die Zahlen schlicht fortlaufend. Die Tabelle hat soviele Zeilen, bis in der ersten Spalte eine Zahl erscheint, die größer ist, als die gewünschte maximale Zahl (hier \(\gt 127\)).

Nochmal die gleiche Tabelle für die fünfte Karte mit \(2^{5-1}=16\). Hier sind es dann nur 4 Zeilen$$\begin{array}{r|}2^{5-1}& 1& 2& 3& 4& \dots& 14& 15& 16\\\hline 1& 16& 17& 18& 19& \dots& 29& 30& 31\\ 3& 48& 49& 50& 51& \dots& 61& 62& 63\\ 5& 80& 81& \dots& & & & & \\ 7& 112& 113& 114& 115& \dots& & 126& 127\\ 9& \cancel{144}& & & & & & & \end{array}$$und in der siebenten und letzten Karte sind es alle Zahlen von 64 bis 127. Dafür braucht man auch nichts programmieren!

Hilfreich wäre ein Tabellenkalkutionsprogramm und ein Drucker ;-)

Vielen, vielen Dank für die Hilfe!

Hübsch, obwohl man es mit ein paar Zeilen javascript hinbekommt Geogebra zum Gedanken lesen anzulernen

blob.png

verschleiern Deine Tabellen die Zusammenhänge besser ;-).
Deshalb ein Versuch, das umzusetzen:

n - Slider 4...8

K1:Sequence(2j - 1, j, 1, 2^n / 2)

K2=Sequence(Sequence(j + (2k - 1) * 2^1, j, 0, 2^1 - 1), k, 1, 2^n / )

Kx..markierte Potenzen je 1 hochzähen x ={4,8,16,32,64...}
sollte Deine Tabellen erzeugen.

Zum Umbrechen auf einheitlich 8 Zeilen
Sequence(Take(Flatten( Kx ), i, i + 2^(n - 4) - 1), i, 1, 2^(n - 1), 2^(n - 4))

BTW:
Ich möchte das trotzdem nicht handschriftlich abliefern wollen ;-)

ggf. könnte man auch eine Tabkalk anlernen, dürfte aber schwierig werden eine vernüftige Ausgabe für unterschiedliche Tabellengrößen n hinzubekommen?




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