Question

Für welche n ∈ N gilt die Ungleichung abs(n/(2n² + 1)) < 10^-5?

Answer 1

abs ( n / (2*n² + 1) ) < 10^(-5)
n = 0
abs ( 0 / (2*(0)² + 1) ) < 10^(-5)
0 < 10^-5

Comments

Was bedeutet abs?

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Siehe die Frage

abs = | |

Answer 2

abs kann weg, das ist nie negativ.

n/(2n² + 1)< 10^(-5)   | * (2n² + 1 )

<=>  n < 10^(-5) * (2n² + 1 )  | : 10^(-5)  (ist gleich *10⁵)

<=>  100000n < 2n² + 1   | -10000n

<=>  0 < 2n² -100000n + 1   | :2

<=>  0 < n² -50000n + 0,5   quadratische Erg.

<=>  0 < n² -50000n +25000² - 25000² + 0,5   binomi. Fo.

<=>  0 < (n-25000)²  - 25000² + 0,5

<=>  25000² -0,5 <  (n-25000)²  Das ist sicher erfüllt, wenn gilt

        √(25000² -0,5 ) < n-25000

also wenn n > 25000+  √(25000² -0,5 ) ≈50000

In der Tat ergibt  für n=50000

n/(2n² + 1) den Wert 0,000009999...<10^(-5)

Comments

Was ist mit n im Zähler, es ist nicht quadriert. Dann muss man auch negativen Fall betrachten, oder?

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n∈ℕ war doch gegeben.

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Wäre da z.B n ∈ ℝ oder ℤ, dann schreibt man negativen Fall auch an?

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Ja genau, dann müsste man auch überlegen was bei

negativem n passiert,

das gäbe wohl am Ende n < -50000

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Vielen Dank!