Vektor - Dimension, Basis, Orthonormalbasis

Question

Hallo, ich hätte drei Beispiele bzgl. Vektoren, bei denen ich nicht weiter komme, ziemlich am verzweifeln bin und unbedingt eine gute Erklärung brauche:)

1. Beispiel

Sei $V \subseteq \mathbb{R}^{4}$ der von den Vektoren


vec{v1}= (1 \\-2 \\5 \\-3)
vec{v2}=(2 \\3 \\1 \\-4)
vec{v3}=(3 \\8 \\-3 \\-5)

aufgespannte Unterraum.

(a) Ermitteln Sie die Dimension und eine Basis $B$ von $V$.
(b) Bestimmen Sie, ob $V$ den Vektor

vec{v}=(-3 \\-15 \\12 \\3)

enthält und finden Sie gegebenenfalls die Koordinaten von $v$ bezüglich der berechneten Basis $B$.

2. Beispiel

Weisen Sie nach, dass

vec{w1}=(\cos theta \\0 \\\sin theta \\0)
vec{w2}=(-\sin theta \\0 \\\cos theta \\)0
vec{w3}=(0 \\1 \\0 \\-1)

eine Orthonormalbasis des von ihnen aufgespannten Unterraumes $W$ von $\mathbb{R}^{4}$ bilden und bestimmen Sie die Orthogonalprojektion von

vec{v}=(\cos theta \\1 \\-\sin theta \\-1)

auf $W$

3. Beispiel

Gegeben ist die folgende Basis von $\mathbb{R}^{3 .}$

vec{u1}=(1 \\1 \\1)
vec{u2}=(0 \\1 \\1)
vec{u3}=(0 \\0 \\1)

Verwenden Sie das Gram-Schmidtsche Verfahren, um aus den Vektoren $u^{(1)}, u^{(2)}$, $u^{(3)}$ eine Orthonormalbasis von $\mathbb{R}^{3}$ zu bilden. Führen Sie die Rechnung zweimal durch: Einmal in der Reihenfolge $u^{(1)}, u^{(2)}, u^{(3)}$ und einmal in der Reihenfolge $u^{(3)}$ $u^{(2)}, u^{(1)}$.

Ich hoffe, dass mir eine Antwort von hier weiterhelfen kann! LG und DANKE im vorhinein!!

Comments

Das sind mir zu viele Aufgaben in einer Frage...

Wo genau bist du denn am Verzweifeln, bzw. kommst du nicht weiter?

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Beim ersten Beispiel kriege ich ständig etwas falsche für lambda raus und kann so nicht weiterrechnen, beim 2. und 3. Beispiel fehlt mir der Ansatz zum Lösen, weil ich das davor noch nie machen musste…

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Beispiel 1 und Beispiel 4 habe ich geschafft zu lösen. Hilfe bräuchte ich noch bei Beispiel 3...