Wenn man zwei Zeilen vertauscht, wird ja nur die Reihenfolge
der Gleichungen vertauscht, das macht ja nichts aus, weil das
Gleichungssystem ja dadurch entsteht, dass man alle
Gleichungen jeweils mit "und" verbindet, und da kommt es
auf die Reihenfolge nicht an.
Eine Gleichung auf beiden Seiten mit einem Faktor ungleich 0
zu multiplizieren, ändert die Lösungsmenge der Gleichung auch
nicht, denn wenn A=B gilt und es ist k≠0 dann sind
A=B und kA=kB äquivalent, weil das ja auf
A-B=0 und k*(A-B) =0 und nach dem Satz vom
Nullprodukt ist k*(A-B)=0
äquivalent zu k=0 oder A-B=0 und wegen k≠0
also zu A-B=0.
Addieren zweier Gleichungen bedeutet dann ja sowas
A=B und C=D
<=> A=B und A+C = B+D
<=> A-B=0 und (A-B)+(C-D) = 0
<=> A-B=0 und 0 + (C-D) = 0
<=> A-B=0 und C-D = 0
<=> A=B und C=D
