Wie kommt man auf den Wert von a?

Question

Aufgabe:

Aufgabe 5: Wie sind die Parameter \( a \) und \( b \) zu wählen, damit die Funktion
\( f(x)=a \cdot e^{-b \cdot x^{2}} \)
durch die Punkte \( A=(3,5 ; 12) \) und \( B=(8 ; 2,4) \) verläuft?

Lösung zu Aufgabe 5: Es ist \( 12=a \cdot e^{-b \cdot 3,5^{2}} \) und \( 2,4=a \cdot e^{-b \cdot 8^{2}} \). Hieraus folgt \( 12 \cdot e^{b \cdot 3,5^{2}}=a \) und \( 2,4 \cdot e^{b \cdot 8^{2}}=a \) und weiter \( \ln \left(12 \cdot e^{b \cdot 3,5^{2}}\right)=\ln \left(2,4 \cdot e^{b \cdot 8^{2}}\right) \Rightarrow \ln 12+b \cdot 3,5^{2}= \) \( \ln 2,4+b \cdot 8^{2} \Rightarrow b\left(64-3,5^{2}\right)=\ln 12-\ln 2,4 \Rightarrow b=0,0311 \Rightarrow a=17,565 \Rightarrow \) \( f(x)=17,565 \cdot e^{-0,0311 \cdot x^{2}} \)

Wie kommt man auf den Wert von a??

Comments

Punkte einsetzen, 1. Gleichung durch die 2. teilen. So fällt a weg und du kannst b direkt berechnen.

Answer 1

Hallo,

Hieraus folgt \( 12 \cdot e^{b \cdot 3,5^{2}}=a \) und \( 2,4 \cdot e^{b \cdot 8^{2}}=a \)

Du setzt den Wert von b in eine der beiden Gleichungen (oder in beide) ein.

:-)

Answer 2

Aufgabe 5: Wie sind die Parameter \( a \) und \( b \) zu wählen, damit die Funktion\( f(x)=a \cdot e^{-b \cdot x^{2}} \)durch die Punkte \( A(3,5 | 12) \) und \( B(8 |2,4) \) verläuft?

A(3,5|12)

f(3,5)=a*\( e^{-b*3,5^2} \)

1.)a*\( e^{-b*3,5^2} \)=12

B(8|2,4)

f(8)=a*\( e^{-b*8^2} \)

2.)a*\( e^{-b*8^2} \)=2,4

\( \frac{a}{e^{3,5^{2} \cdot b}}=12 \)
1.) \( a=12 \cdot e^{12,25 \cdot b} \)
\( \frac{a}{e^{64 \cdot b}}=2,4 \)
2.) \( a=2,4 \cdot e^{64 \cdot b} \)
\( 12 \cdot e^{12,25 \cdot b}=2,4 \cdot e^{64 \cdot b} \)
\( 5=\frac{e^{64 \cdot b}}{e^{12,25 \cdot b}}=e^{64 b-12,25 b} \) \( e^{51,75 b}=5 \mid \ln \)
\( 51,75 b \cdot \ln e=\ln 5 \)
\( b=\frac{\ln 5}{51,75} \)
\( a=\ldots \)