R ist kein endlich erzeugter Q-Vektorraum

Question

Aufgabe:

Zu Zeigen: R ist kein endlich erzeugter Q-Vektorraum.

Problem/Ansatz:

R ist kein endlich erzeugter Q-Vektorraum.

Wer kann mir helfen, um diese Äquivalenz zu zeigen? Danke.

Answer 1

Die Wurzeln aus den Primzahlen sind über Q linear unabhängig.

Und von den Primzahlen gibt es unendlich viele.

Answer 2

Wäre $R$ ein endlich erzeugter $Q$-Vektorraum, dann gäbe es eine

Bijektion (nämlich einen Isomorphismus)  $R\cong Q^n$

mit einer natürlichen Zahl $n\geq 1$.

Da aber $Q^n$ abzählbar ist, wäre dann auch $R$ abzählbar,

was bekanntermaßen nicht der Fall ist.