Konstruktiver Ansatz:
Schau dir \( \ln(2), \ln(3), \ln(5), ..., \ln(p_n) \) für \( n \in \mathbb N \) an, wobei \( p_n \) die n-te Primzahl sei. Folgere dass dieses System linear unabhängig ist. Nimm ne Linearkombination der 0, multipliziere mit dem Hauptnenner, wende ein paar Log-Regeln an und argumentiere dann mit der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung. Da n beliebig ist, muss die Dimension dann größer jede natürliche Zahl sein, also unendlich.
Abstrakter Ansatz:
ℝ ist überabzählbar
ℚ ist abzählbar, insb ist für alle natürlichen Zahlen n die Menge ℚ^n abzählbar.
Falls ℝ endlichdimensionaler ℚ VR wäre, gäbe es einen Isom (Bijektion) zwischen ℝ und ℚ^d, wobei d der Dimension von ℝ als ℚ-VR entspricht.
Aber es gibt keine Bijektion zwischen etwas überabzählbarem und etwas abzählbarem. Das liefert direkt den Widerspruch.
