Zeigen Sie, dass AB = BA genau dann gilt, wenn AB wieder symmetrisch ist.

Question

Aufgabe:

Eine Matrix heißt symmetrisch, wenn ihre Einträge spiegelsymmetrisch zur Diagonalen sind, also für alle i,j gilt, dass a_ij = a_ji. Äquivalent dazu ist die Gleichung A = A^t. Seien A,B symmetrische Matrizen. Zeigen Sie, dass AB = BA genau dann gilt, wenn AB wieder symmetrisch ist.

Answer 1

$\Rightarrow)$

Sei $AB=BA$. Dann gilt

$(AB)^t=B^tA^t=BA=AB$, also ist $AB$ symmetrisch.

$\Leftarrow)$

Sei $AB$ symmetrisch, dann gilt

$BA=B^tA^t=(AB)^t=AB$,

q.e.d.