Aufgabe:
Sei \( G \) eine Gruppe.
(i) Zeigen Sie, dass für jedes \( a \in G \) die Abbildungen \( f_{a}, f_{a}^{\prime}: G \rightarrow G, f_{a}(x)=a \cdot x \) und \( f_{a}^{\prime}(x)=x \cdot a \) Bijektionen sind.
(ii) Zeigen Sie: In jeder Zeile und jeder Spalte der Verknüpfungstafel einer Gruppe \( G \) steht jedes Element aus \( G \) genau einmal.
Eine Abbildung \( f: G \rightarrow G^{\prime} \) zwischen zwei Gruppen heißt Homomorphismus, falls für alle \( a, b \in G \) gilt \( f(a \cdot b)=f(a) \cdot f(b) \) gilt. Ein bijektiver Homomorphismus heißt Isomorphismus.
(iii) Zeigen Sie, dass für jedes \( a \in G \) die Abbildung \( \kappa_{a}: G \rightarrow G, \kappa_{a}(x)=a \cdot x \cdot a^{-1} \) ein Isomorphismus ist.
(iv) Unter welchen Bedingungen an \( a \) sind die Abbildungen \( f_{a} \) und \( f_{a}^{\prime} \) Homomorphismen? Begründen Sie Ihre Antwort.
Problem/Ansatz:
Sei \( G \) eine Gruppe.
(i) Zeigen Sie, dass für jedes \( a \in G \) die Abbildungen \( f_{a}, f_{a}^{\prime}: G \rightarrow G, f_{a}(x)=a \cdot x \) und \( f_{a}^{\prime}(x)=x \cdot a \) Bijektionen sind.
(ii) Zeigen Sie: In jeder Zeile und jeder Spalte der Verknüpfungstafel einer Gruppe \( G \) steht jedes Element aus \( G \) genau einmal.
Eine Abbildung \( f: G \rightarrow G^{\prime} \) zwischen zwei Gruppen heißt Homomorphismus, falls für alle \( a, b \in G \) gilt \( f(a \cdot b)=f(a) \cdot f(b) \) gilt. Ein bijektiver Homomorphismus heißt Isomorphismus.
(iii) Zeigen Sie, dass für jedes \( a \in G \) die Abbildung \( \kappa_{a}: G \rightarrow G, \kappa_{a}(x)=a \cdot x \cdot a^{-1} \) ein Isomorphismus ist.
(iv) Unter welchen Bedingungen an \( a \) sind die Abbildungen \( f_{a} \) und \( f_{a}^{\prime} \) Homomorphismen? Begründen Sie Ihre Antwort.
