Binomialkoeffizienten: k, n ∈ N0 mit 0 ≤ k ≤ n.

Question 1

Aufgabe:

Seien k, n ∈ N₀ mit 0 ≤ k ≤ n. Beweisen Sie die folgende Aussage ohnevbinomischen Lehrsatz zu verwenden:

Text erkannt:

Gibt es $ 1 \leq r \leq n-1 $ mit $ \left(\begin{array}{l}n \\ r\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}n \\ r-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n \\ r+1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}n \\ r\end{array}\right) $, dann ist $ n+2=m^{2} $ für ein $ m \in \mathbb{Z} $.

Problem/Ansatz:

Ich bin seit 4 Stunden mit dieser Aufgabe dabei aber ich kriege es nicht hin. Ich möchte einfach weinen. Bitte helfen Sie mir! Das bedeutet viel für mich.

Question 2

Ich bitte euch um Hilfe

BITTE!!!

Question 3

Die Gleichung ist äquivalent zu$$2{n\choose r}={n\choose{r-1}}+{n\choose {r+1}}\quad (*)$$

Es ist $${n\choose{r-1}}=\frac{r}{n-r+1}\cdot{n\choose r}$$, ferner $${n\choose{r+1}}=\frac{n-r}{r+1}\cdot{n\choose r}$$Aus $(*)$ folgt$$2=\frac{r}{n-r+1}+\frac{n-r}{r+1}$$Wir nennen $n-r=s$, dann ist diese Gleichung

äquivalent zu$$\frac{r}{s+1}+\frac{s}{r+1}=2$$Nach ein bisschen Umformerei erhält man$$r^2-2rs+s^2=r+s+2=n+2$$also $$(r-s)^2=n+2$$q.e.d.

ermanus · Answer 1 · 2021-12-07T18:59:50+0000

Die Gleichung ist äquivalent zu$$2{n\choose r}={n\choose{r-1}}+{n\choose {r+1}}\quad (*)$$

Es ist $${n\choose{r-1}}=\frac{r}{n-r+1}\cdot{n\choose r}$$, ferner $${n\choose{r+1}}=\frac{n-r}{r+1}\cdot{n\choose r}$$Aus $(*)$ folgt$$2=\frac{r}{n-r+1}+\frac{n-r}{r+1}$$Wir nennen $n-r=s$, dann ist diese Gleichung

äquivalent zu$$\frac{r}{s+1}+\frac{s}{r+1}=2$$Nach ein bisschen Umformerei erhält man$$r^2-2rs+s^2=r+s+2=n+2$$also $$(r-s)^2=n+2$$q.e.d.

Binomialkoeffizienten: k, n ∈ N0 mit 0 ≤ k ≤ n.

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