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Aufgabe:

lösen Sie folgende Integrale durch geeignete Substitution

∫ sin(x) * \( cos^{-n} \) * x dx

\( \int\limits_{0}^{1} \) \( \frac{9x^2}{(1+x^3)^7} \) dx


Problem/Ansatz:

wie geht man hier vor

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Aloha :)

$$I_1(n)=\int\sin(x)\cos^{-n}(x)\,dx$$

Für \(n=1\) steht im Zähler (bis auf das Vorzeichen) die Ableitung des Nenners, daher gilt:$$I(1)=\int\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\,dx=-\ln|\cos(x)|+\text{const}$$

Für \(n\ne1\) nutzen wir \(\frac{d(\cos x)}{dx}=-\sin(x)\) bzw. \(\sin(x)dx=-d(\cos x)\) und substituieren:$$I_1(n)=-\int\cos^{-n}(x)\,d(\cos x)\stackrel{u\coloneqq\cos(x)}{=}-\int u^{-n}\,du=-\frac{u^{-n+1}}{-n+1}\stackrel{u=\cos(x)}{=}\frac{\cos^{-n+1}(x)}{n-1}$$

Damit haben wir folgende Lösung gefunden:$$I_1(n)=\int\sin(x)\cos^{-n}(x)\,dx=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\cos^{-n+1}(x)}{n-1}+\text{const}&\text{für }n\ne1\\[1ex]-\ln|\cos(x)|+\text{const}&\text{für }n=1\end{array}\right.$$

Im zweiten Fall brauchen wir keine Fallunterscheidung:

$$I_2=\int\limits_0^1\frac{9x^2}{(1+x^3)^7}\,dx=\int\limits_0^1\frac{3}{(1+x^3)^7}\,3x^2\,dx=\int\limits_0^1\frac{3}{(1+x^3)^7}\,d(1+x^3)$$$$\phantom{I_2}\stackrel{u\coloneqq1+x^3}{=}\int\limits_1^2\frac{3}{u^7}\,du=\int\limits_1^23u^{-7}\,du=\left[-\frac12u^{-6}\right]_1^2=-\frac{1}{2\cdot2^6}+\frac{1}{2}=\frac{2^6-1}{2^7}=\frac{63}{128}$$

Avatar von 148 k 🚀

Was hat \(\sin\left(x\right) \mathrm{d}x =-\mathrm{d}(\cos\left(x\right) )\) für eine Bedeutung? \(\begin{aligned}  \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \end{aligned}\) ist ein Operator, den kann man nicht einfach "auseinanderziehen" (allerhöchstens in der "Nichtstandardanalysis" wäre dies möglich).

Ich bin Physiker... da ist das so üblich ;)

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