Zeigen Sie: Wenn X eine Basis von V ist, dann ist auch X0 eine Basis von V .

Question

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum und seien $X=\left\{v_{1}, \ldots, v_{4}\right\} \subset V$ und $X^{\prime}=$ $\left\{v_{1}-v_{2}, v_{2}-v_{3}, v_{3}-v_{4}, v_{4}\right\} \subset V$ zwei Teilmengen von $V$. Zeigen Sie: Wenn $X$ eine Basis von $V$ ist, dann ist auch $X^{\prime}$ eine Basis von $V$.

Answer 1

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum und seien $X=\left\{v_{1}, \ldots, v_{4}\right\} \subset V$ und $X^{\prime}=$ $\left\{v_{1}-v_{2}, v_{2}-v_{3}, v_{3}-v_{4}, v_{4}\right\} \subset V$ zwei Teilmengen von $V$. Zeigen Sie: Wenn $X$ eine Basis von $V$ ist, dann ist auch $X^{\prime}$ eine Basis von $V$.

Sei $X=\left\{v_{1}, \ldots, v_{4}\right\}$ eine Basis von V.

Dann hat  $X^{\prime}=$ $\left\{v_{1}-v_{2}, v_{2}-v_{3}, v_{3}-v_{4}, v_{4}\right\}$

genau so viele Elemente wie X, ist also genau dann auch eine Basis, wenn

diese 4 Elemente lin. unabhängig sind. Seien also a,b,c,d ∈ K mit

$a \cdot (v_{1}-v_{2}) +b \cdot (v_{2}-v_{3}) + c \cdot (v_{3}-v_{4}) +d \cdot v_{4} = 0$

==> $a \cdot v_{1} + (b-a) \cdot v_{2}+ (c-b) \cdot v_{3} +(d-c) \cdot v_{4} = 0$

Wegen der lin. Unabhängigkeit von X

==>  a=0 und b-a=0 und c-b=0 und d-c=0

==> a=b=c=d=0

==> X ' lin. unabhängig.   q.e.d.