Sei \( V \) ein \( K \)-Vektorraum und seien \( X=\left\{v_{1}, \ldots, v_{4}\right\} \subset V \) und \( X^{\prime}= \) \( \left\{v_{1}-v_{2}, v_{2}-v_{3}, v_{3}-v_{4}, v_{4}\right\} \subset V \) zwei Teilmengen von \( V \). Zeigen Sie: Wenn \( X \) eine Basis von \( V \) ist, dann ist auch \( X^{\prime} \) eine Basis von \( V \).
Sei \( X=\left\{v_{1}, \ldots, v_{4}\right\} \) eine Basis von V.
Dann hat \( X^{\prime}= \) \( \left\{v_{1}-v_{2}, v_{2}-v_{3}, v_{3}-v_{4}, v_{4}\right\} \)
genau so viele Elemente wie X, ist also genau dann auch eine Basis, wenn
diese 4 Elemente lin. unabhängig sind. Seien also a,b,c,d ∈ K mit
\( a \cdot (v_{1}-v_{2}) +b \cdot (v_{2}-v_{3}) + c \cdot (v_{3}-v_{4}) +d \cdot v_{4} = 0 \)
==> \( a \cdot v_{1} + (b-a) \cdot v_{2}+ (c-b) \cdot v_{3} +(d-c) \cdot v_{4} = 0 \)
Wegen der lin. Unabhängigkeit von X
==> a=0 und b-a=0 und c-b=0 und d-c=0
==> a=b=c=d=0
==> X ' lin. unabhängig. q.e.d.
