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Sei die Matrixdarstellung M[Φ] einer linearen Abbildung Φ : ℝ3 →ℝ2 bezüglich der Standardbasen gegeben durch

              2    −1       3
            −4      2     −6

(a) Bestimmen Sie Basen A = {u, v1, v2} von ℝ3

sowie B = {w, w0} von ℝ2so, dass Ker F =span(v1, v2) und

Ran F = span( w0).


(b) Geben Sie für jeden Vektor y = (y1, y2)T ∈ Ran[Φ] eine explizite Parametrisierung der Menge Φ−1(y) ⊂ ℝ3 an

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Für den Kern brauchst du alle Vektoren \(   \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) mit

2x - y + 3z = 0. Die zweite Gleichung ist ja nur Vielfaches davon.

Also kannst du x und z frei wählen und hast y= 2x+3z oder eben die Vektoren

\(  \begin{pmatrix} x\\2x+3z\\z \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} x\\2x\\0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0\\3z\\z \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1\\2\\0 \end{pmatrix}+ z\begin{pmatrix} 0\\3\\1 \end{pmatrix} \) .

Also sind  \(  \begin{pmatrix} 1\\2\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\3\\1 \end{pmatrix} \) geeignete Basisvektoren \(  \vec{v_1} , \vec{v_2} \).

Die Spalten der gegebenen Matrix sind alle Vielfache von   \(  \begin{pmatrix} -1\\2 \end{pmatrix} \),

also kann man den als \(  \vec{w_0}  \) nehmen.

\(  \vec{u}  \) muss einer sein, der von   \(  \begin{pmatrix} 1\\2\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\3\\1 \end{pmatrix} \) linear unabhängig ist ,

z.B.   \(  \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}\)  und \(  \vec{w}  \) muss von \(  \vec{w_0}  \) lin. unabh. sein, also z.B \(  \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \).

b)  Wenn \(  \vec{y}  \) ∈ Ran [Φ], dann gibt es a∈ℝ mit   \(  \vec{y}= a\begin{pmatrix} -1\\2 \end{pmatrix} =    \begin{pmatrix} -a\\2a \end{pmatrix} \).

Dann ist die Urbildmenge von  \(  \vec{y}  \) die Menge aller Vektoren \(  \begin{pmatrix} x-0,25a\\2x+3z-0,25a\\z-0,25a \end{pmatrix} \) hier parametrisiert mit x und z.

Avatar von 287 k 🚀

Ich habe eine Frage. Wie bekommen Sie die Vektoren  \(  \begin{pmatrix} x-0,25a\\2x+3z-0,25a\\z-0,25a \end{pmatrix} \) der Urbildmenge von \(  \vec{y}  \)?

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