Bestimmen Sie Basen A = {u→, v→1, v→2} von ℝ3

Question

Sei die Matrixdarstellung M[Φ] einer linearen Abbildung Φ : ℝ³ →ℝ² bezüglich der Standardbasen gegeben durch

              2    −1       3
            −4      2     −6

(a) Bestimmen Sie Basen A = {u^→, v^→₁, v^→₂} von ℝ³

sowie B = {w^→, w^→₀} von ℝ²so, dass Ker F =span(v^→₁, v^→₂) und

Ran F = span( w^→₀).

(b) Geben Sie für jeden Vektor y^→ = (y1, y2)^T ∈ Ran[Φ] eine explizite Parametrisierung der Menge Φ⁻¹(y^→) ⊂ ℝ³ an

Answer 1

Für den Kern brauchst du alle Vektoren $\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}$ mit

2x - y + 3z = 0. Die zweite Gleichung ist ja nur Vielfaches davon.

Also kannst du x und z frei wählen und hast y= 2x+3z oder eben die Vektoren

$\begin{pmatrix} x\\2x+3z\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\2x\\0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0\\3z\\z \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1\\2\\0 \end{pmatrix}+ z\begin{pmatrix} 0\\3\\1 \end{pmatrix}$ .

Also sind  $\begin{pmatrix} 1\\2\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\3\\1 \end{pmatrix}$ geeignete Basisvektoren $\vec{v_1} , \vec{v_2}$.

Die Spalten der gegebenen Matrix sind alle Vielfache von   $\begin{pmatrix} -1\\2 \end{pmatrix}$,

also kann man den als $\vec{w_0}$ nehmen.

$\vec{u}$ muss einer sein, der von   $\begin{pmatrix} 1\\2\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\3\\1 \end{pmatrix}$ linear unabhängig ist ,

z.B.   $\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}$  und $\vec{w}$ muss von $\vec{w_0}$ lin. unabh. sein, also z.B $\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}$.

b)  Wenn $\vec{y}$ ∈ Ran [Φ], dann gibt es a∈ℝ mit   $\vec{y}= a\begin{pmatrix} -1\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a\\2a \end{pmatrix}$.

Dann ist die Urbildmenge von  $\vec{y}$ die Menge aller Vektoren $\begin{pmatrix} x-0,25a\\2x+3z-0,25a\\z-0,25a \end{pmatrix}$ hier parametrisiert mit x und z.

Comments

Ich habe eine Frage. Wie bekommen Sie die Vektoren  $\begin{pmatrix} x-0,25a\\2x+3z-0,25a\\z-0,25a \end{pmatrix}$ der Urbildmenge von $\vec{y}$?