limes mit konugiertem erweitern

Question

Aufgabe:

\( \sqrt{9 n^{2}+2 n+1}-3 n \quad \) (Hinweis: "konjugiert" erweitern)

und lim x → unendlich.

Lösung: 1/3

Ich würde auch gern den Rechenweg wissen.

Answer 1

$$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \sqrt { 9{ n }^{ 2 }+2n+1 } -3n }$$"konjugiert" erweitern (3. binomische Formel):$$=\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { (\sqrt { 9{ n }^{ 2 }+2n+1 } -3n)(\sqrt { 9{ n }^{ 2 }+2n+1 } +3n) }{ (\sqrt { 9{ n }^{ 2 }+2n+1 } +3n }  }$$Ausmultiplizieren und zusammenfassen:$$=\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 9{ n }^{ 2 }+2n+1-9{ n }^{ 2 } }{ \sqrt { 9{ n }^{ 2 }+2n+1 } +3n }  }$$$$=\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 2n+1 }{ \sqrt { 9{ n }^{ 2 }+2n+1 } +3n }  }$$In zwei Brüche zerlegen:$$=\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 2n }{ \sqrt { 9{ n }^{ 2 }+2n+1 } +3n }  } +\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 1 }{ \sqrt { 9{ n }^{ 2 }+2n+1 } +3n }  }$$$$=\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 2 }{ \frac { \sqrt { 9{ n }^{ 2 }+2n+1 }  }{ n } +3 }  } +0$$$$=\frac { 2 }{ \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { \sqrt { 9{ n }^{ 2 }+2n+1 }  }{ n } +3 }  }$$$$=\frac { 2 }{ 3+\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \sqrt { \frac { 9{ n }^{ 2 }+2n+1 }{ { n }^{ 2 } }  }  }  }$$$$=\frac { 2 }{ 3+\sqrt { \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 9{ n }^{ 2 }+2n+1 }{ { n }^{ 2 } }  }  }  }$$L'Hospital:$$=\frac { 2 }{ 3+\sqrt { \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 18{ n }+2 }{ 2{ n } }  }  }  }$$L'Hospital:$$=\frac { 2 }{ 3+\sqrt { \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 18 }{ 2 }  }  }  }$$$$=\frac { 2 }{ 3+\sqrt { 9 }  }$$$$=\frac { 2 }{ 6 }$$$$=\frac { 1 }{ 3 }$$

Answer 2

Schau mal ob du mit der Schritt für Schritt Lösung von Wolramalpha klar kommst

https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+x->infinity+√%289·x%5E2+%2B+2·x+%2B+1%29+-+3·x

Hast du bereits konjugiert zur 3. binomischen Formel erweitert?

Wie weit bist du selber gekommen?

Answer 3

lim (n→∞) √(9n²+2n+1) - 3n            / Zähler und Nenner erweitern mit √(9n²+2n+1) + 3n

= lim (n→∞) [√(9n²+2n+1) - 3n]*[√(9n²+2n+1) + 3n] /[√(9n²+2n+1) + 3n]

Nach 3. Binomischer Formel kann man schreiben:

= lim (n→∞) [(9n²+2n+1) - 9n²] / [√(9n²+2n+1) + 3n]

=lim (n→∞) (2n+1) / [√(9n²+2n+1) + 3n]

Im Zähler und Nenner n ausklammern:

=lim (n→∞) [n*(2+1/n)] / [n*(√(9+2/n+1/n²) + 3)]

= (2+0) / (√(9+0+0)+3) = 2 / (√9+3)= 2/6 = 1/3