Welchen Inhalt hat die hervorgehobene Fläche?

Question

Aufgabe:

In einem Dreieck sind die drei Seiten gegeben: AB = 20cm BC = 26cm und AC = 18cm. AB, BC und AC sind die Mittelpunkte der eingezeichneten Kreisbogen. Diese berühren sich paarweise. Welchen Inhalt hat die hervorgehobene Fläche?

Problem/Ansatz:

Ich kann die Fläche des Dreiecks berechnen durch Cosinus- und Flächensatz.

Ich weiss wie man die Flächen der Kreisssegmente berechnen könnte, allerdings fehlen mir die Radien.

Deshalb ist meine Frage wie man die Radien der Kreissegmente berechnen kann.

Answer 1

r_1+r_2=20

r_2+r_3=26

r_1+r_3=18.

Dieses System aus drei Gleichungen und 3 Unbekannten ist fast im Kopf lösbar.

Comments

ja sicher, kann man alles im kopf, vor allem wenn man überhaupt nicht mit den Themen vertraut ist...

trotzdem danke für die Antwort

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Ich habe eine Zeichnung zur Verdeutlichung eingefügt:

Answer 2

Hallo ,

der Ansatz von Abakus ist doch sehr gut für die Radien, dann braucht man noch die WInkel.

liegt ein rechtwinkliges Dreieck vor , AB² = BC² + AC²    überprüfe , wenn ja -> dann geht es mit den tan und/oder sin weiter

wenn nicht : Kosinussatz für die Winkel nehmen,

dann die Winkel den Radien zuordnen, Kreissegmente ermitteln, Fläche des Dreieckes berechnen und dann die Differenz bilden.

aus dem Von abakus    I r2 = 20- r1

                                    III r3= 18- r1      einsetzen in II

                                       20-r1+18-r1 =26

                                     38 -2r1         = 26    | -38

                                            -2r1          =-12     | :(-2)

                                                r1         = 6

                                                r2          = 14

                                                r3=       = 12

Answer 3

Löse das Gleichungssystem, was Abakus notiert hat. Du kannst auch einfacher.

x + y = 18
x + z = 20
y + z = 26

schreiben. Wähle Einsetzungs, Gleichsetzungs oder Additionsverfahren. Schaffst du das? Wenn nicht, wie weit kommst du?

Ich erhalte die Lösung: x = 6 ∧ y = 12 ∧ z = 14

6, 12 und 14 sind also die Kreisradien.

Answer 4

Hier meine Skizze

AB = 20
BC = 26
AC = 18

AB = x2 + x3 = 20
BC = x3 + x1 = 26
AC = x2 + x1 = 18

x2 + x3 = 20 => x3 = 20 - x2

x3 + x1 = 26  => 20 - x2 + x1 = 26
-x2 + x1 = 6

-x2 + x1 = 6
x2 + x1 = 18 | addieren
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2*x1 = 24
x1 = 12

Einsetzen
x2 + x1 = 18
x2 + 12 = 18
x2 = 6

x3 + x1 = 26
x3 + 12 = 26
x3 = 14

x1 = 12
x2 =  6
x3 = 14

Wenn ich mich nicht irre.

Bei Bedarf nachfragen.