Bestimmen Sie mittels der quadratischen Ergänzung q ∈ R so, dass die Gleichung z2 + 6z + q = 0 die Lösungen z1 = −3 …

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie mittels der quadratischen Ergänzung q ∈ R so, dass die Gleichung z2 + 6z + q = 0 die Lösungen z1 = −3 + 2i und z2 = −3−2i besitzt

Vielen Dank :)

Answer 1

Bestimmen Sie mittels der quadratischen Ergänzung q ∈ R so, dass die Gleichung z² + 6z + q = 0 die Lösungen z₁ = −3 + 2i und z₂ = −3−2i besitzt

z² + 6z + q = 0|-q

z² + 6z =-q

(z+$\frac{6}{2}$)^2=-q+3^2=9-q |$\sqrt{}$

1.)z+3=$\sqrt{9-q}$

z₁=-3+$\sqrt{9-q}$

2.)z+3=-$\sqrt{9-q}$

z₂=-3-$\sqrt{9-q}$

Nun muss q > 0 sein

q=10    z₁=-3+$\sqrt{9-10}$=-3+i

q=13   z₁=-3+$\sqrt{9-13}$=-3+$\sqrt{4i^2}$=-3+2i

z₂=-3-$\sqrt{9-13}$=-3-2i

Answer 2

Ich finde es völlig abwegig, hier irgendwas mit quadratischer
Ergänzung zu machen. Nach Vieta ist ohne Umschweife

$q=z_1\cdot z_2=9+4=13$.

Comments

Es ist nicht abwegig.

Die Aufgabe verlangt diesen Weg (vielleicht weil es eine Übungsaufgabe zur qu. E. ist?).

Außerdem klingt es wie eine Einstiegsaufgabe ganz zu Beginn der komplexen Zahlen. Zu diesem Zeitpunkt muss noch nicht gesichert sein, dass die bekannten Rechengesetze (wie auch Vieta) im Komplexen ihre Gültigkeit behalten.

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Ich empfinde die Aufgabe als "gekünstelt".

"Zu diesem Zeitpunkt muss noch nicht gesichert sein, dass die bekannten Rechengesetze (wie auch Vieta) im Komplexen ihre Gültigkeit behalten."

OK. Das mag sein. Aber wie kann ich mich dann darauf verlassen,
dass im Komplexen die Methode "quadratische Ergänzung"
zulässig und zielführend ist.

Nun. Es lässt sich schwerlich über den Sinn der Aufgabe streiten.
Ich weiß halt nur von mir, dass ich eine solche Aufgabe nicht gestellt hätte.

Aber, wie auch immer, abakus. Sollten wir uns vor Weihnachten
hier nicht mehr treffen: ein frohes Weihnachtsfest !
Gruß Hermann (ermanus)