Wie zeige ich diese Gleichheit der gaußschen Zahlen mit dieser Menge?

Question

Aufgabe: Wie zeige ich diese Gleichheit der gaußschen Zahlen mit dieser Menge?

Problem/Ansatz: Zu zeigen ist ℤ[i] = { c+di I c,d∈ℤ }, wobei i eine komplexe Zahl ist. Gegeben ist, dass ℤ[i] ein Unterring der ganzen gaußschen Zahlen von ℂ ist.

Wie beweise ich das am besten?

Comments

Ich verstehe die Frage nicht! \(\mathbb Z[i]\) sind doch die gaußschen Zahlen per Definition derselben. Mit welcher Menge soll diese denn verglichen werden?

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Also das i soll "eine komplexe Zahl" sein, und nicht - wie üblich -
die imaginäre Einheit.

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Ich denke mal, der Knackpunkt liegt bei

wobei i eine komplexe Zahl ist.

Damit wäre i hier nicht als die bekannte imaginäre Einheit definiert, sondern als beliebige komplexe Zahl.

(Oh, mathef war schneller.)

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So kommt mir das seltsam vor. Bitte die Originalaufgabe
hier einstellen !

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Hallo

mit i=j*√2, j die imaginäre Einheit ist das einfach falsch. Mal wieder nicht die wirkliche aufgabe gepostet! grrrrrr!

lul

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Na ja, es war ja auch vorausgesetzt, dass

ℤ[i] ein Unterring der ganzen gaußschen Zahlen von ℂ ist.

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Und welche Mengengleichheit soll nun gezeigt werden?
Warum erfahren wir vom Fragesteller/in nicht den Originaltext ?

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Das ist die richtige Fragestellung und ich darf hier ja kein Foto einer urheberrechtlich geschützten Datei hochladen!

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OK. Dann gebe ich auf. Ich habe keine Lust mich mit derart
miserablen Aufgabenstellungen herumzuschlagen.
Das geht nicht gegen dich, sondern gegen den Originalaufgabensteller.

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Noch mal:"das ist die richtige Fragestellung" Heist das, du hast sie wörtlich abgeschrieben?, wo steht, dass du zeigen sollst dass das alle Gaußschen Zahlen sind?

Gruß lul

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Ich habe ein Dokument verfasst, dessen wesentliche
Aussage "1+1=2" lautet. Ist das jetzt urheberrechtlich geschützt?

Was sind das für Leute, die Studenten daran hindern,
ein Foto eines so schützenswerten hochwissenschaftlichen
Inhalts anderen zwecks Disskussion zur Verfügung zu stellen.

Was für eine kranke Entwicklung ...

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Die abfotografierte Aufgabenstellung wird euch auch nichts bringen. Das ist zu 99.9% nämlich die Original Aufgabenstellung.

Ihr solltet viel eher nach der Definition von ℤ[i] fragen! Und die werdet ihr nicht in die Aufgabenstellung finden, sondern die muss die*der FS*in in seinen Vorlesungsunterlagen nachschlagen.

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Noch eine Deutungsmöglichkeit:
Vielleicht sind die ganzen gaussschen Zahlen auch als
der Ring der über \(\mathbb{Z}\) ganzen Zahlen
innerhalb von \(\mathbb{C}\) eingeführt worden.
Das wären dann die komplexen Zahlen, deren Norm
und Spur in \(\mathbb{Z}\) liegen, die also einer
normierten ganzzahligen quadratischen Gleichung genügen.

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Liebe(r) Fragesteller(in),

teile uns bitte eure Definition der ganzen gaußschen Zahlen mit!

Answer 1

hallo

edit; ichverwendet j für j^2=-1

dann ist i=a+jb mit a,b ∈ℤ fest also hast du c+(a+jb)*d=c+ad +jbd

dann musst du zeigen dass c+ad und bd jede ganze Zahl z=n+jm annehmen können durch Wahl von c und d  da ja a und b festliegen.  mit m=bd ist das nicht möglich da m nicht durch b teilbar sein muss.

also noch mal ist "         Zu zeigen ist ℤ[i] = { c+di I c,d∈ℤ }, wobei i eine komplexe Zahl ist. Gegeben ist, dass ℤ[i] ein Unterring der ganzen gaußschen Zahlen von ℂ ist."

die Originalaufgabe ? hier steht ja nicht, was zu zeigen ist?

lul

Comments

dann ist i=a+ib

Damit verwendest du "i" für zwei verschiedene Sachen...

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Danke abakus, ich hab es geändert.

lul

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In der Aufgabe steht übrigens "wobei i eine komplexe Zahl ist",
also z.B. i=5 oder zweifelt jemand daran, dass 5 eine komplexe Zahl ist?

Answer 2

Ich verwende \(j\) für die imaginäre Einheit mit \(j^2=-1\).

Dann ist \(\mathbb{Z}[j]\) der Ring der ganzen Gauss-Zahlen.

Mit \(i:=2j\) ist \(\mathbb{Z}[i]=\mathbb{Z}+2\mathbb{Z}j\) ein Unterring mit

\(j\notin \mathbb{Z}[i]\). Das wäre also ein Gegenbeispiel zur behaupteten

Gleichheit.