Wahr oder falsch: Kann man die gegebene Matrix mit Gauß-Seidel-Verfahren lösen?

Question

Aufgabe:

Mit Hilfe des schwachen Zeilensummenkriteriums wird garantiert, dass man das Gauß-Seidel-Verfahren zur iterativen Lösung eines linearen Gleichungssystems \( A x=b \) mit
\( A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right) \)
verwenden kann.

Problem/Ansatz:

Diese Aufgabe ist bloß eine Angabe mit wahr oder falsch, aber ich verstehe nicht so ganz auf was die Aufgabe hinaus will. Kann mir Jemand weiterhelfen?

Comments

Meines Erachtens ist die Aussage falsch. Das schwache Zeilensummenkriterium ist zwar erfüllt aber die Matrix nicht irreduzibel, wie man an folgender Darstellung sieht:
$$A=\left(\begin{array}{cc|cc}1&-1&0&0\\-1&2&0&0\\\hline0&0&2&-1\\0&0&-1&1\end{array}\right).$$

Answer 1

Die Aussage ist wahr. Siehe dazu auch

https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/zeilensummenkriterien/11103

Comments

Dort steht, dass das schwache Zeilensummenkriterium, zusammen mit weiteren technischen Voraussetzungen, Konvergenz impliziert.
Welche Voraussetzungen sind das und sind die hier auch gegeben?

Answer 2

Test it..

https://www.geogebra.org/m/nfygd9me

Jacobi- und Gauß-Seidel-Verfahren: (Zitat H.Hofmann)

Erfüllt die reguläre Matrix A ∈ Cn×n das starke Zeilensummenkriterium, dann konvergiert das Jacobi-Verfahren bei beliebigem Startvektor

Definition 1.3:

In vielen Anwendungen erfüllt die Matrix A nicht das starke, sondern nur das schwache Zeilensummenkriterium. ..unter gewissen Voraussetzungen,(..) kann auch für diesen Fall die Konvergenz nachgewiesen werden.

Genügt also im Allgemeinen alleine NICHT!

Beispiel: