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Sei α ∈ R und sei Rα ∈ M2(R) definiert durch

Rα =
cos α − sin α
sin α    cos α

Bild Matrix


1. Zeigen Sie, dass RαRβ = Rα+β

2.Zeigen Sie,dass Rα invertierbar ist.Geben Sie Rα−1 an.

Leider häufen sich die Lücken bei mir anscheinend, denn auch hier weiß ich nicht weiter. Ich wollte erst Ra an sich ausrechnen, habe aber keine Idee wie ich von da auf Rb komme.

Gefragt von

Erst mal ein Anfang:

Rα = 
cos α − sin α 
sin α    cos α 

ist eine Definition. Da kannst du problemlos. Beta für Alpha einsetzen; auch ein Term wie (Alpha + Beta) ist erlaubt.

Rβ = 

cos β − sin β 
sin β    cos β

Rα+β = 
cos (α+β)        − sin (α+β) 

sin (α+β)            cos (α+β)

  

Nun musst du die beiden ersten Matrizen formal miteinander multiplizieren und schauen, was rauskommt.

Dann erinnerst du dich ev. an die sog. Additionstheoreme, d.h. Formeln für sin (α+β) etc.  

1 Antwort

+1 Punkt
Wenn du die Matrizen miteinander multiplizierst hast du da ne menge an sinus und cosinus stehen. Dabei gilt:

sin(alpha+beta)=sin(alpha)*cos(beta)+cos(alpha)*sin(beta) UND

cos(alpha+beta)=cos(alpha)*cos(beta)-sin(alpha)*sin(beta)

und wenn du dir das anschaust dann steht die lösung eigentlich schon genau da - also multipliziere mal die beiden matrizen miteinander ;)

 

 beim aufgabenteil 2 könnte ich allerdings auch noch hilfe gebrauchen!
Beantwortet von
Versuche      (1   0               , also die Einheitsmatrix durch sin und cos auszudrücken. Einfach in Unter
                        0  1)

lagen von Ana schauen. Da steht cos(0) = 1    sin(0) = 0 Dort steht auch ein Additionstheorem womit du das alles ausdrücken kannst.

Als Lösung müsstest du dann  cos -a    -sin -a

                                                         sin -a     cos -a                     a ist selbstverständlich Alpha!
Ich glaube man soll zeigen, dass es für jedes alpha eine Inversematrix gibt. Nur so als Tipp multipliziere mit der Transponierten Matrix.

 

Ich hoffe das hilft dir.
Aufgabenteil 2 wäre auch suiper, wenn die jemand eventuell lösen und aufschreiben könnte!
Hab die Lösung doch schon hingeschrieben

Der Kommentar über deiner aufforderung ist die Lösung von Teil 2. Da eine Matrix inventierbar ist wenn ein B existiert, sodass gilt AB= IM. Einfachmal ausprobieren und sin2(x) + cos2(x) = 1 anwenden. Das sollte dein Problem lösen.

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