Quadratische Gleichungen: 12t^2 + 5t = 6t^2 + 5t ausklammern!

Question

wie klammert man diese Aufgaben aus und was sind die Regeln?????? bitte schritt für schritt erklären,danke.

1.  x² + 4x = 0       

2.  12t² + 5t = 6t² + 5t 

3.   2x² - 3x =x² - 4x 

Answer 1

Hi,

Bedenke als erstes den "Satz vom Nullprodukt". Ein Produkt ist dann 0, wenn es ein Faktor ist.

 

1. x^2 + 4x = 0

x(x+4) = 0

--> x₁ = 0 und x₂ = -4

 

2. 12t^2 + 5t = 6t^2 + 5t   |-5t-6t^2

6t^2 = 0

t_1,2 = 0

 

3. 2x^2-3x = x^2-4x  |-x^2+4x

x^2+x = 0 

x(x+1) = 0

x₁ = 0 und x₂ = -1

 

Grüße

Answer 2

 

Du schaust nach der niedrigsten Potenz, die in jedem Summanden enthalten ist und klammerst den Summanden mit dieser Potenz aus:

 

1.  x² + 4x = 0

Hier ist die niedrigste Potenz auf der linken Seite 1, nämlich x¹ = x

x * (x + 4) = 0

Damit ergeben sich die Lösungen

x₁ = 0

x₂ = -4

weil ein Produkt dann = 0 ist, wenn mindestens einer der Faktoren = 0 ist.

 

2.  12t² + 5t = 6t² + 5t

Auch hier ist die niedrigste Potenz (auf beiden Seiten) 1, nämlich t¹ = t

t * (12t + 5) = t * (6t + 5)

Hier ist die Lösung

t = 0

 

3.   2x² - 3x = x² - 4x

Wieder nur das x ausklammern:

x * (2x - 3) = x * (x - 4)

Offensichtlich ist x₁ = 0 eine Lösung dieser Gleichung.

Wir dividieren beide Seiten durch x, um die andere Lösung zu erhalten:

2x - 3 = x - 4 | -x + 3

x₂ = -4 + 3 = -1

 

Besten Gruß

Comments

danke :) aber was ich noch nicht verstanden ist, wieso ist bei Aufgabe 1 und 2 das x und das t die niedrigste Potenz? es ist doch x² und t²?und wie kommt man bei 1 und 2 auf Ergebnis 0 ? 

Grüße 

---

Gern geschehen :-)

 

Aufgabe 1:

Das x ist sowohl in 4x als auch in x² enthalten, deshalb können wir es locker ausklammern :-)

(Das x² ist nicht in 4x enthalten; wollte man x² ausklammern, käme man auf x² * (1 + 4/x) = 0, was bei weitem nicht so einfach zu behandeln ist wie das Ausklammern von x.)

Vergleichen wir x und x²:

x = x¹

x² = x²

Offensichtlich ist doch 1 < 2, also ist x¹ die niedrigste Potenz der beiden Werte x¹ und x².

Aufgabe 2 analog.

 

Nachdem wir in Aufgabe 1 das x ausgeklammert haben

x * (x + 4) = 0

ist eine der Lösungen 0, denn

0 * (0 + 4) = 0

 

In Aufgabe 2 entsprechend:

t * (12t + 5) = t * (6t + 5)

0 * (12 * 0 + 5) = 0 * (6 * 0 + 5)

0 * 5 = 0 * 5

 

Etwas klarer?

Answer 3

Die Regel beim Ausklammern lautet (Distributivgesetz):

a * b + a * c = a * ( b + c )

Um also aus einer Summe ( wie im obigen Beispiel a * b + a * c ) einen Faktor auszuklammern, muss man zunächst schauen, ob die Summanden überhaupt einen gemeinsamen Faktor enthalten.

Wenn ja, dann

a) streicht man diesen gemeinsame Faktor aus allen Summanden

b) setzt das, was übrigbleibt in Klammern und

c) schreibt den gestrichenen Faktor vor die Klammer (oder auch hinter die Klammer, das ist egal).

 

Erläuterungen anhand deiner Beispiele:

1)

x ² + 4 x = 0 

<=> x * x + 4 * x =  0

Die Summanden der Summe auf der linken Seite der Gleichung enthalten den gemeinsamen Faktor x, also:

a) Streichen des gemeinsamen Faktors ergibt : x + 4

b) Einklammern ergibt ( x + 4 )

c) gestrichenen Faktor vor die Klammer setzen ergibt: x * ( x + 4 )

Also hat man:

x ² + 4 x = 0

<=> x * ( x + 4 ) = 0

Satz vom Nullprodukt:
Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer seiner Faktoren gleich Null ist.

Also:

x * ( x + 4 ) = 0

<=> x = 0 oder x + 4 = 0

<=> x = 0 oder x = - 4

 

2)

12t² + 5t = 6t² + 5t

Diese Gleichung formt man zunächst um:

<=> 12 t ² + 5 t - 6 t ² - 5 t = 0

<=> 6 t ² = 0 

Da man hier keine Summe hat, kann man auch nichts ausklammern. Statt dessen dividiert man durch 6 :

<=> t ² = 0

<=> t * t = 0

wendet wieder den Satz vom Nullprodukt an und erhält:

<=> t = 0 oder t = 0

<=> t = 0

 

3)

2x² - 3x =x² - 4x

Auch hier formt man zunächst um:

<=> 2 x ² - 3 x - x ² + 4 x = 0

<=> x ² + x = 0

<=> x * x + 1 * x

Hier hat man auf der linken Seite wieder eine Summe. Ein gemeinsamer Faktor aller ihrer Summanden ist x, also

a) Streichen des gemeinsamen Faktors ergibt : x + 1

b) Einklammern ergibt ( x + 1 )

c) gestrichenen Faktor vor die Klammer setzen ergibt: x * ( x + 1 )

Also hat man insgesamt:

2 x ² - 3 x  = x ² - 4 x

<=> x * ( x + 1 ) = 0

und daraus erhält man wieder mit dem Satz vom Nullprodukt:

<=> x = 0 oder x + 1 = 0

<=> x = 0 oder x = -1