Descending chain condition

Question

Ich hätte eine Frage bzgl. einer Form der Wohlordnungsgemeinschaft die "descending chain condition" (DCC).

Sei f: N--->Ν eine Funktion mit der Eigenschaft, dass ∀n ∈  N: f(S(n)) ≤ f(n)      (S ist die Nachfolgerfunktion)

Dann existiert n₀ ∈ N mit f(n)=f(n_0) für alle n ∈ N, n ≥ n₀

Könnte mir irgendjemand die Thematik dieses Form erklären bzw. Denkanstöße geben?

Comments

https://en.wikipedia.org/wiki/Ascending_chain_condition Hier könntest du noch die Sprache umstellen. Deutsch sehe ich nicht direkt. Vielleicht kommst du mit Französisch weiter?

Answer 1

Betrachte die Menge $R=\{f(S(n))\;:\: f(S(n))<f(n)\}\subseteq \mathbb{N}$.

1. Fall: $R\neq \emptyset$.

Wegen der Wohlordnung von $\mathbb{N}$

besitzt diese ein kleinstes Element $m$.

Die Menge $S=\{n\; : \; f(n)=m\}$ besitzt

wieder wegen der Wohlordnung ein kleinstes Element $n_0$.

Die absteigende Kette der $f(n)$ wird also ab $n_0$ stationär,

d.h. DCC liegt vor.

2. Fall: $R=\emptyset$.

In diesem Fall ist $f$ konstant und DCC trivialerweise erfüllt.

Comments

Vielen Dank. Endlich habe ich eine ausführliche Erklärung gefunden.