Wie Identität Transformationsmatrix beweisen?

Question

Aufgabe:

Seien K ein Körper, V ein ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und A,B,C drei Basen von V.

Beweisen Sie die folgende Identität: T^A_C = T^B_C T^A_B (wobei das Transformationsmatrizen sind).

Problem/Ansatz:

Wie kann man das beweisen?

Answer 1

Sei V n-dimensional, dann haben alle Basen n Elemente. Seien also

A=$(u_1 , \dots , u_n)$ , A=$(v_1 , \dots , v_n)$, A=$(w_1 , \dots , w_n)$

Die drei Basen, und wenn man zeigen

kann, dass für jeden Vektor v mit den Koordinaten a= (a1, ... ,an ) ∈ Kⁿ gilt

$T^A_C \cdot a = T^B_C \cdot T^A_B \cdot a$

Dann ist die Gleichheit ja gezeigt.

Zu den Matrizen gehören lin. Abb'en, etwa

f zu $T^B_C$  und g zu $T^A_B$

Dann ergibt $T^A_B \cdot a$ die Koordinaten, mit

denen f(v) mit der Basis B dargestellt wird

f(v) = b1 * v1 + ... bn * vn.

Wenn man nun den Spaltenvektor (b1,...,bn)^T nimmt

und rechnet $T^A_B \cdot (b_1,\dots,b_n)^T$

Dann erhält man die Koordinaten, mit denen g(f(v)) mit

der Basis C dargestellt wird.

Nun entspricht aber das Produkt der Matrizen der

Hintereinanderausführung der Abbildungen, also

liefert $T^A_C \cdot a$ das gleiche Ergebnis.

Comments

Vielen Dank!! :)