Zeigen Sie:Rekursive Folgen Monotonie zeigen

Question

Aufgabe:Bei der 2.Aufgabe verstehe ich nicht wie man von an/2 + 2/an auf 2/an - an/2 kommt

Text erkannt:

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1. Die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) ist nach unten durch 2 beschränkt.
2. Die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) fällt monoton.
3. Die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) ist konvergent. Bestimmen Sie den Grenzwert \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} \).
Lösung
1. Für \( n=1 \) ist \( a_{1}=4 \geq 2 \) und für alle \( n \in \mathbb{N} \) ist \( a_{n+1} \geq 2 \) wegen
\( \begin{aligned} a_{n+1} \geq 2 & \Longleftrightarrow \frac{a_{n}}{2}+\frac{2}{a_{n}} \geq 2 \\ & \Longleftrightarrow a_{n}^{2}+4 \geq 4 \cdot a_{n} \quad\left(\text { Für alle } n \in \mathbb{N} \text { gilt: } a_{n}>0 .\right) \\ & \Longleftrightarrow a_{n}^{2}-4 \cdot a_{n}+4 \geq 0 \\ & \Longleftrightarrow\left(a_{n}-2\right)^{2} \geq 0 . \end{aligned} \)
Damit ist die Folge durch 2 nach unten beschränkt.
2. Für \( n \in \mathbb{N} \) gilt
\( a_{n+1}-a_{n}=\frac{a_{n}}{2}+\frac{2}{a_{n}}-a_{n}=\underbrace{\frac{2}{a_{n}}}_{1 .) \atop \leq 1}-\underbrace{\frac{a_{n}}{2}}_{1.01} \leq 0 . \)

Answer 1

wie man von an/2 + 2/an auf 2/an - an/2 kommt

Es geht ja um Monotonie, also zu zeigen, dass a_n+1 - a_n ≤ 0

für alle n gilt .

Dazu ist die Rekursion eingesetzt worden a_n+1 =a_n / 2 + 2 / a_n .

Also a_n+1 - a_n = (a_n / 2 + 2 / a_n) - a_n

                 = a_n / 2  - a_n + 2 / a_n

                   = -a_n / 2  + 2 / a_n

                    = 2/a_n - a_n /2

Comments

Ok.Aber warum ist dann 2/an<=1 und an/2>=1?

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In 1. wurde ja gezeigt.   a_n ≥2 für alle n
Durch 2 gibt a_n / 2   ≥ 1
und   a_n ≥2 Übergang zu Kehrwert (ist ja nix negativ)            
         1 / a_n ≤ 1/2 ≤ 1

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Danke,habe es verstanden.