Für k=0 ist das einfach nur die Summenformel der geom. Reihe.
Bleibt der Induktionsschritt:
Gelte also für ein k die gegebene Formel, dann hast du:
n=0∑∞(n+k+1n)⋅zn
=1+n=1∑∞(n+k+1n)⋅zn
Das gibt mit der Formel für die Binomialkoeffizienten
=1+n=1∑∞((n+kn)+(n+kn−1))⋅zn
=1+n=1∑∞(n+kn)⋅zn+n=1∑∞(n+kn−1)⋅zn
=n=0∑∞(n+kn)⋅zn+n=0∑∞(n+k+1n)⋅zn+1
=n=0∑∞(n+kn)⋅zn+z⋅n=0∑∞(n+k+1n)⋅zn
Damit hast du insgesamt:
n=0∑∞(n+k+1n)⋅zn=n=0∑∞(n+kn)⋅zn+z⋅n=0∑∞(n+k+1n)⋅zn
<=>
n=0∑∞(n+k+1n)⋅zn−z⋅n=0∑∞(n+k+1n)⋅zn=n=0∑∞(n+kn)⋅zn
<=>
(1−z)⋅n=0∑∞(n+k+1n)⋅zn=n=0∑∞(n+kn)⋅zn
Rechts die Induktionsannahme einsetzen:
(1−z)⋅n=0∑∞(n+k+1n)⋅zn=(1−z)k+11
und durch (1-z) teilen gibt die zu beweisende Formel für k+1
n=0∑∞(n+k+1n)⋅zn=(1−z)k+21