Lösen der Rekursion mit Ansatz

Question

Aufgabe:

2. Lösen Sie $a_{n}=6 a_{n-1}-9 a_{n-2}, n \geq 2$, mit $a_{0}=1, a_{1}=6$.
3. Lösen Sie $a_{n}=-4 a_{n-2}, n \geq 2$, mit $a_{0}=0, a_{1}=4$.

Problem/Ansatz:

Bei Aufgabe 2 habe ich den folgenden Ansatz gewählt, aber für Lambada1 kam 3 raus und für k1 ( k1*Lambada1ⁿ + k2*Lambada2ⁿ) hatte ich die Lösung 3, was aber falsch ist(2*3ⁿ⁾. Ist der Ansatz nicht richtig?

Lambada1² = 6*Lambada2¹ - 9*Lambada3⁰ 

Comments

Lambada? ¡Olé!

Der elfte Buchstabe des griechischen Alphabets ist Lambda.

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Ups. Da hast du Recht. Kannst du mir denn bei der Aufgabe helfen?

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Was bedeutet es, eine Rekursionsvorschrift zu lösen? Soll man die rekursiv definierte Folge aufschreiben? Wie ist λ definiert?

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Also wir sollten da eine allgemeine und spezielle Lösung für a0 und a1 berechnen mit dem Ansatz Lambda² = 6*Lambda¹ - 9*Lambda⁰ 

für

^{an=6an−1−9an−2 ,n≥2} 

Da kam dann Lambda=3 raus , was wir vorher immer in k1*Lambda1ⁿ + k2*Lambda2ⁿ

^{eingesetzt haben mit a0 und a1}

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Sollten deine Exponenten nicht Fußnoten sein?

Die Rekursion ergbt diese ersten 7 Glieder:

1, 6, 27, 108, 405, 1458, 5103,...

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Eigentlich nicht, aber vielleicht habe ich da auch was falsch verstanden

Answer 1

Hallo,

Der Ansatz für die Aufgabe 2 könnte sein$$a_n=f(n) \cdot \lambda^n$$Und wenn man für $f(n)=c_0+c_1n$ setzt, kann man beide Parameter $c_0$ und $c_1$ getrennt betrachten. Für $c_0$ ergibt sich die quadratische Gleichung, die Du oben angeschrieben hast$$f(n)\lambda^{n} =6f(n-1)\lambda^{n-1} -9f(n-2)\lambda^{n-2}\\ f(n)=c_0 \\\implies \lambda^2=6\lambda - 9 \implies \lambda_{1,2}=3$$Setzt man nun $f(n)=c_1n$ ein ... ($\lambda=3$)$$\begin{aligned}c_1n \lambda^{n} &= 6c_1(n-1) \lambda^{n-1} - 9c_1(n-2)\lambda^{n-2}&&|\,\div c_1\lambda^{n-2}\\ 3^2n &= 3\cdot 6(n-1) -9(n-2)&&|\,\div 9\\ n &= 2(n-1) -(n-2) \\ n&=n \space \checkmark\end{aligned}$$... so sieht man, dass dies immer erfüllt ist. Und mit Vorgabe von $a_0=1$ und $a_1=6$ lassen sich die beiden Parameter berechnen$$a_n=3^n(c_0+c_1n)\\ a_0 = c_0 =1 \\ a_1 = 3(c_0+c_1) =6 \implies c_1=1$$Also lautet die explizite Form$$a_n=3^n(n+1)$$

3. Lösen Sie $a_{n}=-4 a_{n-2}, \space n \geq 2$, mit $a_{0}=0, a_{1}=4$.

schreib mal ein paar Elemente hin:$$a_n=\in\{0,\,4,\,0,\,-\!16,\,0,\,64,\,0,\,-\!256,\,0,\dots\}$$Es fällt natürlich sofort auf, dass$$|a_n|=\begin{cases}0&&2\mid n\\ 2^{n+1}&& 2\nmid n\end{cases}$$Zum einen alterniert die Folge zwischen 0 und einem Wert und der Wert wechselt immer das Vorzeichen. Ersteres bekommt man mit diesem Term hin$$b_n = \frac12(1+(-1)^{n+1})\\\implies b_0=0,\quad b_1=1,\quad b_2=0,\quad b_3=1,\quad b_4=0, \space\dots$$und für den Vorzeichenwechsel alle 2 Elemente taugt$$v_n = (-1)^{\lfloor n/2\rfloor}\\\implies v_1=1,\quad v_3=-1,\quad v_5=1,\quad v_7-1$$alles zusammen bauen gibt$$a_n = b_n\cdot v_n\cdot 2^{n+1}\\\phantom{a_n}= \frac12(1+(-1)^{n+1})(-1)^{\lfloor n/2\rfloor}2^{n+1}\\\phantom{a_n}= (1+(-1)^{n+1})(-1)^{\lfloor n/2\rfloor}2^{n}$$Gruß Werner

Answer 2

Hallo :-)

Beide Aufgaben kannst du mithilfe von Eigenwerten lösen. Hier ist mal sowas beispielhaft vorgerechnet:

https://www.mathelounge.de/892902/finden-sie-fur-folgenden-linearen-…

Ansonsten kannst du 3.) erraten, indem du mal die ersten Folgenglieder ausrechnest.

Comments

Beide Aufgaben kannst du mithilfe von Eigenwerten lösen.

Eine Lösung der Aufgabe 2 über die Diagonalisierung der Matrix $A$$$\begin{pmatrix} a_{n-1}\\a_{n} \end{pmatrix}=A\cdot\begin{pmatrix} a_{n-2}\\a_{n-1} \end{pmatrix}\quad\text{mit}\quad A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -9 & 6 \end{pmatrix}$$ist hier nicht möglich, da $A$ keine unabhängigen Eigenvektoren besitzt. Deshalb gibt es ja auch nur ein Lösung für $\lambda$, nämlich $\lambda=3$.

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Wie sieht deine Matrix A aus?

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Unabhängig davon kannst du ja bei einer 2x2 Matrix auch ohne Diagonalisierung immernoch recht gut die Matrixpotenz von A bestimmen, indem du dir einfachmal die ersten zb 10 Potenzen anschaust.

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... indem du dir einfachmal die ersten zb 10 Potenzen anschaust.

$$A^{10}=\begin{pmatrix}-531441& 196830\\ -1771470& 649539\end{pmatrix}$$Na ja - wenn man die Zahlen faktorisiert, könnte man natürlich gewisse Schlüsse ziehen ;-)

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Du kannst auch die Jordannormalform von A berechnen. Da ließe sich noch recht angenehm die Potenz ausrechnen.