Hallo:-)
du kannst beide lineare Rekursionen mit einem Eigenwertproblem in Verbindung bringen, um so an die explizite Darstellung zu kommen. Dazu definiere ich
$$ A:=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^{2,2} $$
und \(x_n:=\begin{pmatrix}a_n\\a_{n+1}\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^2\) für alle \(n\in \mathbb{N}\).
Nun wähle ich meine Matrix \(A\) so, dass für alle \(n\in \mathbb{N}\) die Gleichheit \(x_{n+1}=A\cdot x_n\), bzw.
$$ x_{n+1}=\begin{pmatrix}a_{n+1}\\a_{n+2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a_n\\a_{n+1}\end{pmatrix}=A\cdot x_n $$
gilt. Diese Gleichheit kann ich durch folgende Überlegungen auch wie folgt umschreiben:
$$ x_1=A\cdot x_0,\quad x_2=A\cdot x_1=A^2\cdot x_0,\\x_3=A\cdot x_2=A^3\cdot x_0\quad ,..., \quad \underline{x_n=A^n\cdot x_0}. $$
Ich muss also Matrixpotenzen ausrechnen. Doch zunächst brauche ich die Matrix \(A\).
Dafür betrachte ich mal die ersten Folgenglieder mithilfe der gegebenen Rekursion:
Bereits bekannt sind: \(a_0= 2, a_1= 3\). Weiter ist mit der Rekursion \(a_2=1, a_3=-23, a_4=-171\)
Für \(n=0\) und \(n=1\) betrachte ich also jetzt:
$$ x_1=\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a_0\\a_1\end{pmatrix}=A\cdot x_0 $$
und
$$ x_2=\begin{pmatrix}a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-23\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}=A\cdot x_1 $$
bzw.
$$ \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2a+3b\\2c+3d\end{pmatrix} $$
und
$$ \begin{pmatrix}1\\-23\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3a+1b\\3c+1d\end{pmatrix}. $$
Das führt auf folgendes lineares Gleichungssystem:
$$\begin{pmatrix}2&3&0&0\\0&0&2&3\\3&1&0&0\\0&0&3&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\\1\\-23\end{pmatrix}$$
also
$$ \left(\begin{array}{cccc|c}2&3&0&0&3\\0&0&2&3&1\\3&1&0&0&1\\0&0&3&1&-23\end{array}\right). $$
Die eindeutige Lösung lautet: \(a=0, b=1, c=-10, d=7\).
Ich habe also:
$$x_{n+1}=\begin{pmatrix}a_{n+1}\\a_{n+2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-10&7\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a_n\\a_{n+1}\end{pmatrix}=A\cdot x_n. $$
Ich möchte aber stattdessen
$$ x_{n+1}=\begin{pmatrix}a_{n+1}\\a_{n+2}\end{pmatrix}=A^{n+1}\cdot x_0=\begin{pmatrix}0&1\\-10&7\end{pmatrix}^{n+1}\cdot x_0 $$
berechnen.
Jetzt kommen die Eigenwerte der Matrix \(A\) ins Spiel. Diese lauten \(\lambda_1=5,\quad \lambda_2=2\) und ihre zugehörigen Eigenräume
$$ \text{Eig}(A,5)=\text{span}\left(\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}\right)\quad \text{Eig}(A,2)=\text{span}\left(\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\right). $$
Damit erhalte ich folgende Transformationsmatrix
\(S=\begin{pmatrix}1&1\\5&2\end{pmatrix}\) und \(S^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{5}{3}&-\frac{1}{3}\end{pmatrix}\) sowie \(D=\begin{pmatrix}5&0\\0&2\end{pmatrix}\).
Damit ist
$$S\cdot D\cdot S^{-1}=\begin{pmatrix}1&1\\5&2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}5&0\\0&2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{5}{3}&-\frac{1}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-10&7\end{pmatrix}=A.$$
Nun kommt damit die Matrixpotenz ganz einfach raus:
$$ A^m=\underbrace{A\cdot A\cdot ... \cdot A \cdot A}_{\text{m mal}}=\underbrace{(S\cdot D\cdot S^{-1})\cdot (S\cdot D\cdot S^{-1})\cdot ... \cdot (S\cdot D\cdot S^{-1}) \cdot (S\cdot D\cdot S^{-1})}_{\text{m mal}}\\=(S\cdot D\cdot \underbrace{S^{-1})\cdot (S}_{=I_2}\cdot D\cdot S^{-1})\cdot ... \cdot (S\cdot D\cdot \underbrace{S^{-1}) \cdot (S}_{=I_2}\cdot D\cdot S^{-1})=S\cdot D^m\cdot S^{-1}. $$
Insgesamt hat man:
$$ x_n=\begin{pmatrix}a_n\\a_{n+1}\end{pmatrix}=A^n\cdot x_0=S\cdot D^n\cdot S^{-1}\cdot x_0=\begin{pmatrix}1&1\\5&2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}5^n&0\\0&2^n\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{5}{3}&-\frac{1}{3}\end{pmatrix}\cdot x_0\\=\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}-2\cdot 5^n+5\cdot 2^n&5^n-2^n\\-2\cdot 5^{n+1}+5\cdot 2^{n+1}&5^{n+1}-2^{n+1}\end{pmatrix}\cdot x_0\\=\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}-2\cdot 5^n+5\cdot 2^n&5^n-2^n\\-2\cdot 5^{n+1}+5\cdot 2^{n+1}&5^{n+1}-2^{n+1}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a_0\\a_1\end{pmatrix}\\=\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}-2\cdot 5^n+5\cdot 2^n&5^n-2^n\\-2\cdot 5^{n+1}+5\cdot 2^{n+1}&5^{n+1}-2^{n+1}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\\=\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}-5^n+7\cdot 2^n\\-5^{n+1}+7\cdot 2^{n+1}\end{pmatrix}. $$
Und aus der ersten Zeile liest man \(\boxed{a_n=\frac{1}{3}\cdot (7\cdot 2^n-5^n)}\) ab. FERTIG!
