Vektoraufgaben - Linearkombination & Parameterformen

Question

Guten Tag,

wäre jemand so nett und hätte die Zeit dafür mir die Lösungen zu diesen zwei Aufgaben zu sagen mit dem entsprechenden Rechnungsweg? Ich verstehe das Thema leider so gut wie gar nicht und brauche Musterlösungen von den beiden Aufgaben damit ich weiß wie man sowas genau angeht und löst.
In den zwei Bildern kann man an den roten Fragezeichen sehen was ich genau lösen soll.

Vielen lieben Dank im voraus!

Text erkannt:

(a) Wie kann der Vektor $\vec{a}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -5\end{array}\right)$ als Linearkombination von $\overrightarrow{v_{1}}=\left(\begin{array}{c}4 \\ -2 \\ 4\end{array}\right)$, $\overrightarrow{v_{2}}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 3\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{v_{3}}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 3\end{array}\right)$ dargestellt werden, d. h., bestimmen Sie $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ sowie $\lambda_{3}$ so, dass $\vec{a}=\lambda_{1} \cdot \overrightarrow{v_{1}}+\lambda_{2} \cdot \overrightarrow{v_{2}}+\lambda_{3} \cdot \overrightarrow{v_{3}}$ gilt.
Es muss gelten $\lambda_{1}=?, \lambda_{2}=?$ und $\lambda_{3}=?$.

Answer 1

In der Gleichung $\vec{a}=\lambda_{1} \cdot \overrightarrow{v_{1}}+\lambda_{2} \cdot \overrightarrow{v_{2}}+\lambda_{3} \cdot \overrightarrow{v_{3}}$ setze

die Vektoren ein und betrachte jede Koordinate einzeln, dann gibt es

3 Gleichungen mit den Variablen $\lambda_1 , \lambda_2 und \lambda_3$

[Ich schreib mal dafür x,y,z:]

1 = 4x + y + z
0=-2x -y + 0z
-5 = 4x + 3y + 3z

Das löst du und bekommst x=1  y=-2    z=-1

Das sind die Lambda-Werte, die du eintragen musst.

Bei der 2. Aufgabe die Parameter der einen Ebene umbenennen,

etwa a und b statt α und ß und dann beide Terme

Gleichsetzen und dieses Gleichungssystem so auflösen,

dass eine  Gleichung mit a und b oder eine mit     α und ß

übrig bleibt. Dieses dann oben einsetzen und du hast die

Geradengleichung.

Comments

Ich danke dir sehr, die erste Aufgabe hab ich soweit dann verstanden bei mir kam dann als "z" = -1 raus was dann auch richtig war. :)

Jedoch hab ich die zweite Aufgabe so immer noch nicht verstanden, hättest du eventuell die Zeit dafür die Aufgabe mir genau vorzumachen damit ich mir das auch so aufschreiben kann?

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Ich nehme dann mal a,b,c,d statt der α und ß:

2 + 0a + b = -1 +2c + d
-3  +  a + b = 4 - 3c - 3d
3  - a  -4b = -1 +0c + 3d

1. umformen und  2. Gleichung + 3. Gl

                b = -3 +2c + d
             -3b = 3 - 3c
3  - a -4b = -1 +0c + 3d

1. mal -3 und dann mit der 2. gleichsetzen

9  -6c - 3d = 3 - 3c

==>  6 = 3c + 3d

==>   d = 2-c

Das einsetzen bei der 2. Ebene

$\begin{pmatrix} -1\\4\\-1 \end{pmatrix} +c\cdot \begin{pmatrix} 2\\-3\\0 \end{pmatrix}+d \cdot \begin{pmatrix} 1\\-3\\3 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} -1\\4\\-1 \end{pmatrix} +c\cdot \begin{pmatrix} 2\\-3\\0 \end{pmatrix}+(2-c) \cdot \begin{pmatrix} 1\\-3\\3 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 1\\-2\\5 \end{pmatrix} +c\cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\-3 \end{pmatrix}$
Das wäre dann (Rechne lieber mal nach !) die Geradengleichung
mit c statt Lambda.

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Ich danke dir herzlich dafür! Hab es so verstanden :)