Eine linear abhängige Basis, zu eine ONB mit Skalarprodukt?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Basis B := ( $\begin{pmatrix} 0\\2\\2 \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 2\\2\\1 \end{pmatrix}$ von ℝ³.

Zu zeigen ist, dass es auf ℝ³ ein Skalarprodukt <,> existiert, sodass B eine ONB ist.

Problem/Ansatz:

Offensichtlich lässt sich das Standard Skalarprodukt nicht verwenden.
Also ich verstehe es so, ich muss ein Skalarprodukt finden, sodass B als ONB gilt.

Verstehe ich die Aufgabe richtig? Ich soll so lange herumprobieren, bis ich eine Abbildung finde, die positiv definit, symmetrisch, bilinear ist und gleichzeitig <bi,bj> = 0 und <bi,bi>=1 ergibt?

Ich hoffe mir kann da jemand weiter helfen, ich verzweifle an der Aufgabe.

Answer 1

Ein Skalarprodukt für R³ kann man mit einer positiv definiten,

symmetrischen Matrix A erzeugen durch

$<\vec{x},\vec{y}> = \begin{pmatrix} x_1 & x_2\ &x_3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b&c \\ b&d & e\\ c&e & f \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2\\ y_3 \end{pmatrix}$

Und wenn du hier deine gegebenen Vektoren einsetzt, kannst du

wohl a bis f ausrechnen.

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Vielen Dank,
hab mir jetzt auf diese Weiße ein Gleichungssystem erstellt und muss es nur noch mit dem Gauß-Algorithmus lösen :)

Answer 2

Hallo

du sollst ein Skalarprodukt finden mit Hilfe einer Matrix A, so dass <ei,Aek>=0  i≠k und <ei,Aei>=1

d.h. du musst A finden.

Gruß lul

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Vielen Dank :)

Answer 3

Hallo,

nach Deiner Frage-Formulierung braucht man nur die Existenz eines solchen Skalarprodukts zeigen. Dazu sei B die Matrix, die als Spalten die $b_i$. Dann leistet

$$S(x,y):=\langle B^{-1}x,B^{-1}y\rangle=\langle x,(B^{-1})^TB^{-1}y \rangle$$

(mit dem Standard-Skalarprodukt) das Gewünschte.

Gruß Mathhilf