Eigenschaften alternierender Multilinearformen

Question

Aufgabe:

Seien V ein K-Vektorraum, m ∈ N sowie α ∈ Alt^m (V). Beweisen Sie die folgende Aussage:

Wenn ein Tupel (v1,...,v_m) ∈ V^m linear abhängig ist, gilt α (v1,...,v_m ) = 0.

Problem/Ansatz:

Können Sie mir bitte helfen?

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Vollständigere Frage?

Titel: Eigenschaften alternierender Multilinearformen/Beweis von Aussagen

Stichworte: lineare-algebra,vektoren,vektorraum,tupel

Text erkannt:

Seien $V$ ein $K$-Vektorraum, $m \in \mathbb{N}$ sowie $\alpha \in \operatorname{Alt}^{m}(V) .$ Beweisen Sie die folgenden Aussagen.
a) Scherungsinvarianz: Sei $\left(v_{1}, \ldots, v_{m}\right) \in V^{m}$, und seien $j, k \in\{1, \ldots, m\}$ mit $j \neq k$. Sei außer$\operatorname{dem}\left(w_{1}, \ldots, w_{m}\right) \in V^{m}$ definiert durch
$w_{l}:=v_{l}+\mathbb{1}_{l=j} v_{k}=\left\{\begin{array}{ll} v_{l}, & l \neq j, \\ v_{j}+v_{k}, & l=j . \end{array}\right.$
Dann gilt $\alpha\left(v_{1}, \ldots, v_{m}\right)=\alpha\left(w_{1}, \ldots, w_{m}\right)$.
b) Wenn ein Tupel $\left(v_{1}, \ldots, v_{m}\right) \in V^{m}$ linear abhängig ist, gilt $\alpha\left(v_{1}, \ldots, v_{m}\right)=0$.
c) Sei $\left(v_{1}, \ldots, v_{m}\right) \in V^{m}$, und seien $k, j \in\{1, \ldots, m\}$ mit $k \neq j .$ Sei zudem $\left(w_{1}, \ldots, w_{m}\right) \in V^{m}$ definiert durch
$w_{l}:=\left\{\begin{array}{ll} v_{l}, & l \notin\{k, j\} \\ v_{j}, & l=k \\ v_{k}, & l=j \end{array}\right.$
Dann gilt $\alpha\left(v_{1}, \ldots, v_{m}\right)=-\alpha\left(w_{1}, \ldots, w_{m}\right)$.
Hinweis: Vielleicht hilft es Ihnen, sich die Situation zunächst im Spezialfall $m=2$ klarzumachen.

Hallo liebe Mathelounge-Community,

ich brauche Hilfe für diese Aufgabe. Tipps, Denkansatz etc. wären sehr hilfreich. Ich bedanke mich im voraus für eure Unterstützung

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Habt ihr wirklich keine Idee für mich?

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Wie kann man a lösen?

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Bitte Fragen nicht mehr mehrfach stellen. Zusammengehörendens auch nicht unnötig aufstückeln.

Answer 1

1. Sei $c\in K$, $i\neq j$.

Dann gilt für $(v_1,\cdots, v_m)$:

$\alpha(\cdots, v_i+cv_j,\cdots, v_j,\cdots)=$

$\alpha(\cdots,v_i,\cdots,v_j,\cdots)+c\alpha(\cdots,v_j,\cdots,v_j,\cdots)=$

$\alpha(v_1,\cdots,v_m)+c\cdot 0$.

Seien nun $v_1,\cdots,v_m$ linear abhängig, also

$\sum c_iv_i=0$, nicht alle $c_i=0$,

etwa $c_1\neq 0$, d,h, $v_1=-\sum_{i\neq 1}d_iv_i$ mit $d_i=c_i/c_1$.

Dann folgt:

$\alpha(v_1,\cdots,v_m)=\alpha(v_1+\sum_{i\neq 1}c_iv_i,v_2,\cdots,v_m)=\alpha(0,v_2,\cdots,v_m)=0$

Comments

Vielen Dank für deine Antwort. Kannst du mir bitte auch bei dieser Frage helfen?

Seien V ein K-Vektorraum, m ∈ N sowie α ∈ Altm (V). Beweisen Sie die folgende Aussage:

Scherungsinvarianz: Sei (v1,...,v_m) ∈ V^m, und seien j, k ∈ {1,...,m} mit j ≠ k. Sei außerdem (w1,...,w_m) ∈ V^m definiert durch

W1:= v₁ + 1l_{l = vk} = {v₁ ,   l ≠ j,

W1:= v1 + 1l_{l = vk} = {v_j + v_k , l = j

Dann gilt α (v₁ ,..., v_m ) = α (w₁ ,..., w_m ).

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@ermanus bitte lass mich nicht im Stich. Ich rechne auf dich.

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In Zeile 3 bis 5 steht doch bereits eine Antwort
zu deiner Frage. Setze c=1.

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Ich bin gerade verwirrt geworden. Was du oben geschrieben hast gehört zu a. Ich habe eine neue Frage geschrieben oder ich bin komplet lost.

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Ich meine deine neue Frage. Die Zeilen 3 bis 5

in der Antwort auf die alte Frage liefern eine Antwort auf

die neue Frage. Mach dir doch einfach klar, was

die Dinge bedeuten, dann wirst du es verstehen ...

Das Nachdenken über diese Dinge will ich dir

nicht abnehmen ;-)

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Ermanus, ich kämpfe damit seit 2 stunden aber ich komme leider nicht weiter :( sorry.

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Was verstehst du denn nicht ?

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Wie ich das genau rechne!

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Du hast an mehreren Stellen statt des Index l (Ell)

außversehen 1 geschrieben.

Da würde ich auch nichts mehr verstehen.

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Ja, es ist eine bestimmte zeichen, dass ich hier nicht gefunden habe.

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Dann nimm doch z.B. r oder s.

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Wenn du oben siehst, steht es genauer in der Foto.

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\_     _/

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Nimm in meinem Teil statt i und j einfach j und k:

$\alpha(v_1, \cdots, v_j+v_k,\cdots, v_k,\cdots,v_m)=$$\alpha(\cdots,v_j,\cdots,v_k,\cdots)+\alpha(\cdots,v_k,\cdots,v_k,\cdots)=\alpha(v_1,\cdots,v_m)+0$.

Das ist doch genau das, was du zeigen sollst.

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Jetzt hab ich das kapiert. Ich bedanke mich für deine Mühe.

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Prima !$\;\;\;\;$