Beweisen oder widerlegen Sie: Die Transposition A → AT

Question

Aufgabe:

Beweisen oder widerlegen Sie: Die Transposition A → A^T aus
Aufgabe 11.3 ist ein Isomorphismus der Vektorräume K^m×n → K^n×m.

⟨Aufgabe 11.3 Ist A∈ K^mxn eine Matrix, deren Eintrag in der i-ten Zeile
und j-ten Spalte aij ∈ ist, so bezeichnet man mit A^T die transponierte
Matrix. Sie ist Element von K^nxm, hat also genauso viele Spalten wie A
Zeilen hat und Zeilen so viele wie A Spalten hat.⟩

Answer 1

$F:\; A\mapsto A^T$ ist linear; denn

1. Offenbar gilt $(A+B)^T=A^T+B^T$.

2. Für $c\in K$ gilt $(cA)^T=c(A^T)$.

Der Kern dieser Abbildung besteht nur aus der Nullmatrix,

da offensichtlich $A=0\iff A^T=0$ gilt.

Eine injektive lineare Abbildung zwischen

zwei endlich-dimensionalen Vektorräumen

gleicher Dimension ist "automatisch" auch surjektiv,

d.h. ein Isomorphismus.