Zeigen : H(H(A)) ist eine Teilmenge von H(A)

Question

Aufgabe: Sei $D \subset \mathbb{C}$ und bezeichne $H(D)$ die Menge aller Häufungspunkte von $D$.

(a) Beweisen Sie, dass $H(H(A)) \subset H(A)$ für jede Menge $A \subset \mathbb{R}$ gilt.
(b) Berechnen Sie $H(B)$, wobei $B=\left\{\frac{m}{n}: m, n \in \mathbb{N}, m>n\right\}$.

Problem/Ansatz:

Für a/, ich habe folgendes gemacht und weiß nicht wie kann ich weiter machen.

sei $a∈ H(D)$ mit $D = H(A)$. Das heißt, es gibt eine Folge $(z_n)$ mit :

$\lim\limits_{n\to\infty}$ zn =  a und (zn) ∈ D\{a}

Ich brauche auch eure Hilfe bei b/

Danke im Voraus.

Answer 1

Hallo,

für a) würde ich nicht mit dem Folgenkriterium arbeiten, sondern mit der epsilon-Definition:

Sei x aus H(H(A)). Es sei e>0 gegeben. Dann existiert ein y in H(A), verschieden von x, mit |x-y|<0.5e. Weil y in H(A) liegt, existiert ein a aus A mit |y-a|<min(0.5e,0.5|x-y|). Durch die 2. Bedingung im Minimum wird garantiert, dass nicht zufällig a=x ist. Wegen der Dreiecksungleichung haben wir also für beliebiges e>0 ein a aus A gefunden mit mit a ungleihc x und |x-a|<e.

Zu b) Offenbar sind alle Elemente aus B größer 1. Die Folge (n+1)/n aus B zeigt, dass 1 Häufungspunkt ist. Weiter ist jede rationale Zahl p/q mit p>q Häufungspunkt, benutze die Folge ((pn+1)/(nq+1)). Damit sind alle rationalen Zahlen Häufungspunkt von B. Da diese dicht in den reellen Zahlen liegen, sind nach a) auch alle reellen Zahlen größer gleich 1 Häufungspunkte von B.

Gruß Mathhilf

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Vielen Dank für die Hilfe!