Unbestimmte Integrale finden

Question

Kann einer weiterhelfen

a) $\int\left(\frac{1}{2} x-1\right)^{2} d x$
b) $\int(a x+b)^{3} d x$
c) $\int(a x+b)^{n} d x$
d) $2 \sqrt{3 x} d x$
e) $\int \sqrt{2 x-1} d x$
f) $\frac{1}{(2 x-1)^{2}} d x$

Kann einer die erste Aufgabe erläutern

Answer 1

Aloha :)

Hier geht es eigentlich immer darum, das Differential $dx$ geschickt umzuschreiben.

Ich spare mir im Folgenden immer die Integrationskonstante am Ende.

zu a) Wegen $\frac{d(\frac12x-1)}{dx}=\frac12$ ist $d(\frac12x-1)=\frac12\,dx$, sodass:$$\int\left(\frac12x-1\right)^2dx=\int\left(\frac12x-1\right)^2\,\underbrace{2\,d\left(\frac12x-1\right)}_{=dx}\stackrel{u=\frac12x-1}{=}\int u^2\,2\,du=\frac23u^3=\frac23\left(\frac12x-1\right)^3$$

zu b) Wegen $\frac{d(ax+b)}{dx}=a$ ist $d(ax+b)=a\,dx$, sodass:$$\int(ax+b)^3\,dx=\int(ax+b)^3\,\underbrace{\frac1a\,d(ax+b)}_{=dx}\stackrel{u=ax+b}{=}\int u^3\frac1a\,du=\frac{u^4}{4a}=\frac{1}{4a}(ax+b)^4$$

zu c) Dieselbe Ersetzung wie in b)$$\int(ax+b)^n\,dx=\int(ax+b)^n\,\underbrace{\frac1a\,d(ax+b)}_{=dx}\stackrel{u=ax+b}{=}\int u^n\frac1a\,du=\frac{u^{n+1}}{(n+1)a}=\frac{(ax+b)^{n+1}}{(n+1)a}$$

zu d) Hier kannst du direkt mit Potenzen rechnen:$$\int2\sqrt{3x}\,dx=\int2\sqrt3\cdot x^{\frac12}\,dx=2\sqrt3\cdot\frac{x^{\frac32}}{\frac32}=2\sqrt3\cdot\frac23\cdot x^{\frac32}=\frac{4}{\sqrt3}x\sqrt x$$

zu e) Wegen $\frac{d(2x-1)}{dx}=2$ ist $d(2x-1)=2\,dx$, sodass:$$\int\sqrt{2x-1}\,dx=\int\sqrt{2x-1}\cdot\underbrace{\frac12\,d(2x-1)}_{=dx}\stackrel{u=2x-1}{=}\int u^{\frac12}\,\frac12\,du=\frac12\,\frac{u^{\frac32}}{\frac32}=\frac13(2x-1)^{\frac32}$$

zu f) Dieselbe Ersetzung wie in e)$$\int\frac{1}{(2x-1)^2}\,dx=\int\frac{1}{(2x-1)^2}\cdot\underbrace{\frac12\,d(2x-1)}_{=dx}\stackrel{u=2x-1}{=}\int\frac1{u^2}\,du=-\frac1u=-\frac{1}{2x-1}$$

Answer 2

Ausmultiplizieren oder
$\int\left(\frac{1}{2} x-1\right)^{2} \cdot d x$
Substitution:
$\begin{array}{l} \frac{1}{2} x-1=u \rightarrow \rightarrow\left(\frac{1}{2} x-1\right)^{2}=u^{2} \\ x=2 u+2 \rightarrow \rightarrow d x=2du \\ \int\left(\frac{1}{2} x-1\right)^{2} \cdot d x=\int u^{2} \cdot 2 d u=2 \cdot \int u^{2} d u=\frac{2}{3} u^{3}+C \end{array}$
Resubstitution:
$\int\left(\frac{1}{2} x-1\right)^{2} \cdot d x=\frac{2}{3} \cdot\left(\frac{1}{2} x-1\right)^{3}+C$

Answer 3

( (1/2) * x - 1 ) ²
ausmultiplizieren
1/4 * x² - x + 1
Stammfunktion = (1/4) * x³ / 3 - x²/2 + x + C