Wie leite ich die Exponentialfunktionen x^x bzw. a^x ab?

Question

Kann mir jemand sagen wie man die Funktion x^x oder die Funktion a^x ableitet?

Mit kurzer Erklärung.

Answer 1

Da wir von den Exponentialfunktionen nur e^x leicht ableiten können, sind Funktionen wie a^x oder x^x zunächst auf eine Exponentialfunktion zu bringen.

f(x) = a^x = e^{ln(a^x)} = e^{x * ln(a)}
f '(x) = e^{x * ln(a)} * ln(a) = a^x * ln(a)

f(x) = x^x = e^{ln(x^x)} = e^{x * ln(x)}
f '(x) = e^{x * ln(x)} * (1 * ln(x) + x * 1/x) = x^x * (ln(x) + 1)