Aufgabe:
∑k=1∞78k \LARGE \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{7}{8^{k}} k=1∑∞8k7
Problem/Ansatz:
Hallo ich muss den Grenzwert dieser Reihe berechnen. Ich kenne die allgemeine Formel zu der Berechnung von Grenzwerten also 1/1-q wenn |q|<1. Allerdings kann man diese Formel ja nur anwenden wenn die Reihe bei 0 beginnt. Diese beginnt allerdings bei 1. Wie berechnet man nun diesen Grenzwert?
LG
Also müsste ich dann (1/8)0 rechnen und dann halt von der Formel abziehen. Hier also -1, weil alles hoch 0, 1 ergibt?
Nein, du musst 7/80 subtrahieren.
Man kann auch gleich mit a0 = 7*(1/8)1 rechnen.
Es geht direkt ohne Indexverschiebung und Subtraktion.
Damit hast du dem FS sehr geholfen!!!
Aloha :)
Addiere eine sogenannte "nahrhafte Null":
∑k=1∞78k=∑k=1∞78k+780−780⏞=0=(∑k=1∞78k+780)−780=∑k=0∞78k−7=7∑k=0∞(18)k−7\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{7}{8^k}=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{7}{8^k}+\overbrace{\frac{7}{8^0}-\frac{7}{8^0}}^{=0}=\left(\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{7}{8^k}+\frac{7}{8^0}\right)-\frac{7}{8^0}=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{7}{8^k}-7=7\sum\limits_{k=0}^\infty\left(\frac{1}{8}\right)^k-7k=1∑∞8k7=k=1∑∞8k7+807−807=0=(k=1∑∞8k7+807)−807=k=0∑∞8k7−7=7k=0∑∞(81)k−7∑k=1∞78k=7⋅11−18−7=7⋅178−7=7⋅87−7=8−7=1\phantom{\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{7}{8^k}}=7\cdot\frac{1}{1-\frac18}-7=7\cdot\frac{1}{\frac78}-7=7\cdot\frac87-7=8-7=1k=1∑∞8k7=7⋅1−811−7=7⋅871−7=7⋅78−7=8−7=1
Kurze frage sagen wir das Glied würde bei k=3 beginnen. Müsste ich dann alle vorherigen Glieder also hoch 0-3 auch abziehen?
Ja, selbstverständlich. Warum fragst du?
Wenn die Summe bei 3 beginen würde, sähe das so aus:
∑k=3∞78k=∑k=3∞78k+780+781+782−780−781−782\sum\limits_{k=3}^\infty\frac{7}{8^k}=\sum\limits_{k=3}^\infty\frac{7}{8^k}+\frac{7}{8^0}+\frac{7}{8^1}+\frac{7}{8^2}-\frac{7}{8^0}-\frac{7}{8^1}-\frac{7}{8^2}k=3∑∞8k7=k=3∑∞8k7+807+817+827−807−817−827∑k=3∞78k=(∑k=3∞78k+780+781+782)−780−781−782\phantom{\sum\limits_{k=3}^\infty\frac{7}{8^k}}=\left(\sum\limits_{k=3}^\infty\frac{7}{8^k}+\frac{7}{8^0}+\frac{7}{8^1}+\frac{7}{8^2}\right)-\frac{7}{8^0}-\frac{7}{8^1}-\frac{7}{8^2}k=3∑∞8k7=(k=3∑∞8k7+807+817+827)−807−817−827∑k=3∞78k=∑k=0∞78k−780−781−782\phantom{\sum\limits_{k=3}^\infty\frac{7}{8^k}}=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{7}{8^k}-\frac{7}{8^0}-\frac{7}{8^1}-\frac{7}{8^2}k=3∑∞8k7=k=0∑∞8k7−807−817−827
Wenn das erste Glied fehlt, muss man mit deiner Formel rechnen und das erste Glied subtrahieren.
7 vor die Summe ziehen.
7*∑ 1/8k (1 bis oo) = 7* (1/8)/(1-1/8) = 7* 1/8* 8/7 = 1
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