Aufgabe: Weinkeller mit parabelförmigem Kellereingang?

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Wir haben in der Schule forlgende Aufgabe bekommen:

In einem Weinkeller soll ein parabelförmiger Kellereingang gemauert werden. Der Rundbogen hat die Form einer Parabel mit der Gleichung: y=ax²+d

a. Zeichne ein zur Gleichung passendes KS ins Bild. (verstehe ich!)
b. Berechne die Gleichung der Parabel.
c. Wie hoch ist der Keller maximal?

Bei der Aufgabe ist auch noch eine Zeichnung dabei, die ich allerdings nur erklären kann, also: Die Parabel ist nach unten geöffnet und der Boden (Öffnung) ist 5 Meter breit! Außerdem sind noch die Punkte gegeben:

S (o/y)
P1 (1,25/2,2)
P2 (2,5/0)

Gegebene Lösung bei b: y = -0,4693x² + 2,93
Gegebene Lösung bei c: Höhe des Weinkellers ca. 2,90 m

Ich bekomme dort aber etwas ganz anderes raus. Auch wenn die Aufgabe sehr schwer zu lösen ist, wäre es sehr nett, wenn ihr mir helfen könntet :)

Gefragt 21 Feb 2012 von mathe-hausaufgaben

1 Antwort

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Du hast die Aufgabe sehr gut beschrieben, sie ist wie folgt zu lösen:

1. Du hast die Gleichungsform f(x) = ax² + d = y

2. Du hast zwei Punkte gegeben, ein Punkt hat stets die Koordinaten P (x | f(x)) bzw. P (x | y), die wir verwenden, um folgende zwei Gleichungen aufzustellen:

2a. Für P(1,25|2,2):
f(x) = a*x² + d = y
f(1,25) = a*(1,25)² + d = 2,2
a*(1,25)² + d = 2,2
(1,25)²*a + d = 2,2
I: 1,5625*a + d = 2,2

2b. Für: P(2,5|0,0):
f(x) = a*x² + d = y
f(2,5) = a*(2,5)² + d = 0
a*(2,5)² + d = 0
(2,5)²*a + d = 0
II: 6,25*a + d = 0

3. Jetzt brauchst Du das Rechnen mit Linearen Gleichungssystemen. Wir nutzen das Gleichsetzungsverfahren:

4a. Aufstellen unserer beiden Gleichungen von oben
I: 1,5625*a + d = 2,2
II: 6,25*a + d = 0

4b. Umformen der beiden Gleichungen, sodass d jeweils alleine auf einer Seite steht
I: d = 2,2 - 1,5625*a
II: d = 0 - 6,25*a

4c. Jetzt das Gleichsetzen, also
d = d
2,2 - 1,5625*a = 0 - 6,25*a

4c. Ausrechnen bzw. Gleichung umstellen
2,2 - 1,5625*a = 0 - 6,25*a
2,2 - 1,5625*a = -6,25*a
2,2 = -6,25*a + 1,5625*a
2,2 = -4,6875*a
2,2 : (-4,6875) = a
-0,469333 = a
a = -0,469333

5. Nun den Wert von a in die I. oder II. Gleichung einsetzen (denn es kommt bei beiden das gleiche Ergebnis heraus) und umstellen:

a in II:
6,25*a + d = 0
6,25*(-0,469333) + d = 0
-2,93333 + d = 0
d = 2,93333

6. Werte a und d zusammenführen bzw. einsetzen:
f(x) = a*x² + d
f(x) = -0,469333*x² + 2,93333

Fertig ist die Gleichung der Parabel ;)

Der Keller darf damit höchstens 2,93333 m hoch sein (unser "absolutes Glied" der quadratischen Gleichung).

Beantwortet 21 Feb 2012 von Matheretter Experte V

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