Approximation von Brüchen durch dezimale Form | Grenzwert

Question

ich soll wie in dem Beispiel:

Folgern, dass 0.083333333.... = 1/12 gilt.

Kann mir da jemand helfen, komme durcheinander.

Answer 1

Unter Verwendung des Beispiels ist es einfach

100*0.083333333.... = 8.3333333.... = 8 + 0.3333333... =  8 + 1/3 = 25/3 

==> 0.083333333.... = (25/3) : 100  =   1/12

Comments

Aber ich soll das glaube ich so ähnlich wie da oben zeigen, und nicht mit hilfe davon wenn sie verstehen.

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Dann beginne doch so:

$0.083333333.... = \frac{8}{100} + \lim\limits_{n\to\infty}\sum \limits_{j=3}^{n} 3\cdot 10^{-j}$

und wende entsprechende Schritte an, wie in dem Beispiel.

Dann gibt das $\frac{8}{100} + \frac{1}{300} = \frac{1}{12}$

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ich kriege die schritte davor nicht hin..

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wie komme ich auf die 1/300

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$0.083333333.... = \frac{8}{100} + \lim\limits_{n\to\infty}\sum \limits_{j=3}^{n} 3\cdot 10^{-j}$

Dann lass mal die 8/100 erst weg und betrachte nur

$\lim\limits_{n\to\infty}\sum \limits_{j=3}^{n} 3\cdot 10^{-j}$

und dann völlig analog zu deiner Vorgabe:

$\lim\limits_{n\to\infty}\sum \limits_{j=3}^{n} 3\cdot 10^{-j}$

$= 3\cdot \lim\limits_{n\to\infty}\sum \limits_{j=3}^{n}10^{-j}$

$= 3\cdot ( \lim\limits_{n\to\infty}\sum \limits_{j=0}^{n}10^{-j} -1-0,1-0,01)$

$= 3\cdot ( \lim\limits_{n\to\infty}\sum \limits_{j=0}^{n}10^{-j} -1,11)$

$= 3\cdot ( \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1-10^{-n+1}}{1-10^{-1}} -1,11)$

$= 3\cdot ( \frac{1}{1-10^{-1}} -1,11)$

$= 3\cdot ( \frac{10}{9} -\frac{111}{100}) =3\cdot \frac{1}{900}=\frac{1}{300}$

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ahh, ich verstehe, Dankesehr!