Zeigen oder widerlegen Sie: Es gilt eG = eU .

Question

Sei (G, ◦), eine Gruppe und U ⊂ G. Dann heißt (U, ◦|U ) Untergruppe
von G, falls (U, ◦|U ) eine Gruppe ist. In diesem Fall schreibt man (U, ◦|U ) ≤ (G, ◦).
Zeigen oder widerlegen Sie: Es gilt eG = eU .

Ich habs mit einem Widerspruchbeweis versucht und es hat zwar geklappt, jedoch ist die Rechnung wahrscheinlich nicht ganz richtig. Außerdem meinte meine Kommunitorin das ginge einfach mit einem direkten Beweis. Kann das wer machen?

Comments

Meinst du $e_G=e_U$ ?

So wie du es geschrieben hast, ist es total unverständlich.

Bemühe dich bitte darum, deine mathematischen Ausdrücke

besser zu formatieren.

Answer 1

Da $e_U$ das neutrale Element von $U$ ist,

gilt $e_U\circ e_U=e_U$. Zu $e_U$ gibt es in $G$ ein Inverses $i_G$

mit $i_G\circ e_U=e_U\circ i_G=e_G$. Damit haben wir

$e_U=e_G\circ e_U=(i_G\circ e_U)\circ e_U=i_G\circ(e_U\circ e_U)=i_G\circ e_U=e_G$.