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Sei (G, ·) eine Gruppe und sei eG das neutrale Element.
Zeigen Sie, dass wenn für alle x ∈ G gilt x · x = eG, dann ist G kommutativ.
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Sei (G, ·) eine Gruppe und sei eG das neutrale Element. Ich schreibe e für eG.
Zeigen Sie, dass wenn für alle x ∈ G gilt x · x = eG, dann ist G kommutativ.

Seien y und z zwei beliebige Elemente von G mit y≠z.

Zu zeigen: yz = zy.

Beweis:

yz ist Element von G.

Deshalb gilt yzyz = e, yy= e und zz=e

 zy = zy e = zy yzyz = zezyz = zzyz = eyz = yz

Umformung benutzt nur (allerdings wiederholt) das Assoziativgesetz

und die Eigenschaften der Multiplikation mit e in G.

Beantwortet von 142 k

Zur Aufgabenstellung: Ist zu zeigen das G kommutativ ist, gdw. sie das neutrale Element besitzt?

Folgt aus x * x = eG für alle x =1, da eG =  1?

@Anonym. Nein es folgt nur, dass für beliebige Elemente von G das Produkt mit sich selbst e ist. Deshalb kannst du im Beweis immer pärchenweise gleiche nebeneinander stehende Elemente durch e ersetzen.
Ja aber e =1, also auch nur 1 mit sich als Produkt = e? wo ist mein Denkfehler?

Ich sehe keine Fehler. Verstehe demnach die Frage nicht.

Statt e schreibt man oft 1, da es das neutrale El. der Mult. ist.

(-1)*(-1) = 1 

Aber -1 ≠ 1

 

Du schreibst oben: 

Folgt aus x * x = eG für alle x =1, da eG =  1?

Es heisst da aber in der Fragestellung nur für alle x in G. 

Ok. Also für alle x aus G folgt aus x * x = e  Wertemenge = {1, -1, (und vielleicht wurzel 1 und co)}

Ja ich glaub du hast das jetzt begriffen.

In dieser Gruppe sind alle Elemente gemäss Voraussatzung sozusagen 'Quadratwurzel' von 1. 

Ich ergänze mai in der Umformung noch Klammern, damit man sieht, dass das Assoziativgesetz oft zum Zug kommt.

 

yz ist Element von G.

Deshalb gilt (yz)(yz) = e, yy= e und zz=e

 zy = zy e = zy (yz)(yz) = z(yy)zyz = zezyz = zzyz = eyz = yz

 

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