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Aufgabe: Die Aufgabe lautet:Bestimmen Sie alle t ∈ ℝ für die die Funktion gt stetig auf ℝ ist.


Problem/Ansatz: Für x ungleich t ist mir die Lösung klar.Ich verstehe nur nicht,warum für x= -t der Grenzwert gleich null gesetzt wird.Also wie komme ich auf die Null?

Screenshot 2022-01-29 231959.png

Text erkannt:

2. Es sei tR t \in \mathbb{R} beliebig.
gt(x)={x2+sin(x+t)tx+t, falls xt12t, falls x=t g_{t}(x)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{x^{2}+\sin (x+t)-t}{x+t}, & \text { falls } x \neq-t \\ 1-2 \cdot t, & \text { falls } x=-t \end{array}\right.
Die Funktion gt g_{t} ist offensichtlich stetig in allen Punkten xt x \neq-t . Eine notwendige Bedingung für die Stetigkeit der Funktion gt g_{t} im Punkt x=t x=-t lautet
0=limxt(x2+sin(x+t)t)=t2t=t(t1). 0=\lim \limits_{x \rightarrow-t}\left(x^{2}+\sin (x+t)-t\right)=t^{2}-t=t \cdot(t-1) .
Folglich ist die Funktion gt g_{t} für alle Werte von t{0,1} t \notin\{0,1\} unstetig im Punkt x=t x=-t . Für t=0 t=0 ist g0 g_{0} stetig auf ganz R \mathbb{R} nach Teil 1. Für t=1 t=1 gilt (mit der Regel von de l'Hospital)
limx1g1(x)=limx1x2+sin(x+1)1x+1=limx12x+cos(x+1)=1, \lim \limits_{x \rightarrow-1} g_{1}(x)=\lim \limits_{x \rightarrow-1} \frac{x^{2}+\sin (x+1)-1}{x+1}=\lim \limits_{x \rightarrow-1} 2 \cdot x+\cos (x+1)=-1,
also ist auch g1 g_{1} auf ganz R \mathbb{R} stetig.

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1 Antwort

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Damit es dort stetig ist muss ja der Grenzwert an der Stelle -t

existieren.

Der Term für x≠-t hat im Nenner x+t, das geht für x gegen -t gegen 0.

Damit der gesamte Bruch einen (endlichen) Grenzwert haben kann,

muss der Zähler auch gegen 0 gehen. Daher die 0.

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