Funktion Stetigkeit in Abhängigkeit von Parameter bestimmen

Question

Aufgabe: Die Aufgabe lautet:Bestimmen Sie alle t ∈ ℝ für die die Funktion gt stetig auf ℝ ist.

Problem/Ansatz: Für x ungleich t ist mir die Lösung klar.Ich verstehe nur nicht,warum für x= -t der Grenzwert gleich null gesetzt wird.Also wie komme ich auf die Null?

Text erkannt:

2. Es sei $t \in \mathbb{R}$ beliebig.
$g_{t}(x)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{x^{2}+\sin (x+t)-t}{x+t}, & \text { falls } x \neq-t \\ 1-2 \cdot t, & \text { falls } x=-t \end{array}\right.$
Die Funktion $g_{t}$ ist offensichtlich stetig in allen Punkten $x \neq-t$. Eine notwendige Bedingung für die Stetigkeit der Funktion $g_{t}$ im Punkt $x=-t$ lautet
$0=\lim \limits_{x \rightarrow-t}\left(x^{2}+\sin (x+t)-t\right)=t^{2}-t=t \cdot(t-1) .$
Folglich ist die Funktion $g_{t}$ für alle Werte von $t \notin\{0,1\}$ unstetig im Punkt $x=-t$. Für $t=0$ ist $g_{0}$ stetig auf ganz $\mathbb{R}$ nach Teil 1. Für $t=1$ gilt (mit der Regel von de l'Hospital)
$\lim \limits_{x \rightarrow-1} g_{1}(x)=\lim \limits_{x \rightarrow-1} \frac{x^{2}+\sin (x+1)-1}{x+1}=\lim \limits_{x \rightarrow-1} 2 \cdot x+\cos (x+1)=-1,$
also ist auch $g_{1}$ auf ganz $\mathbb{R}$ stetig.

Answer 1

Damit es dort stetig ist muss ja der Grenzwert an der Stelle -t

existieren.

Der Term für x≠-t hat im Nenner x+t, das geht für x gegen -t gegen 0.

Damit der gesamte Bruch einen (endlichen) Grenzwert haben kann,

muss der Zähler auch gegen 0 gehen. Daher die 0.