Aufgabe: Die Aufgabe lautet:Bestimmen Sie alle t ∈ ℝ für die die Funktion gt stetig auf ℝ ist.
Problem/Ansatz: Für x ungleich t ist mir die Lösung klar.Ich verstehe nur nicht,warum für x= -t der Grenzwert gleich null gesetzt wird.Also wie komme ich auf die Null?

Text erkannt:
2. Es sei t∈R beliebig.
gt(x)={x+tx2+sin(x+t)−t,1−2⋅t, falls x=−t falls x=−t
Die Funktion gt ist offensichtlich stetig in allen Punkten x=−t. Eine notwendige Bedingung für die Stetigkeit der Funktion gt im Punkt x=−t lautet
0=x→−tlim(x2+sin(x+t)−t)=t2−t=t⋅(t−1).
Folglich ist die Funktion gt für alle Werte von t∈/{0,1} unstetig im Punkt x=−t. Für t=0 ist g0 stetig auf ganz R nach Teil 1. Für t=1 gilt (mit der Regel von de l'Hospital)
x→−1limg1(x)=x→−1limx+1x2+sin(x+1)−1=x→−1lim2⋅x+cos(x+1)=−1,
also ist auch g1 auf ganz R stetig.