Ist (ℤ/pℤ)* immer zyklisch?

Question

Ich versuche gerade die Restklassenringe besser zu verstehen.

Zu einer Sache finde ich leider nichts beim googeln:

Ist (Z/p^2 Z)* immer zyklisch? Oder muss dafür p prim sein?

Was ist zb mit p^2 ? Ist (Z/p^2 Z)* dann noch zyklisch?

Es gibt ja nur einen Erzeuger, wenn eine Gruppe (mit mult) zyklisch ist, oder? Also würde die Gruppe (Z/p^2 Z)* dann keinen Erzeuger haben?

Ihr würdet mir wirklich sehr helfen, wenn ihr mir das vielleicht kurz erklären könntet :)

Answer 1

Unter der Menge \(R^*\) in einem Ring \(R\) versteht man

die Einheitengruppe von \(R\), also die Gruppe der invertierbaren

Elemente des Ringes.

Wenn \(p\) eine Primzahl ist, dann ist \((Z/pZ)^*\) als multiplikative

Gruppe eines endlichen Körpers immer zyklisch.

Erzeugende dieser Gruppe nennt man Primitivwurzeln modulo \(p\).

Ist aber \(n\) keine Primzahl, so ist \((Z/nZ)^*\) im allgemeinen

nicht zyklisch, wie man am Beispiel \((Z/8Z)^*\) sehen kann.

Comments

Zusatz für den Fragesteller:

Eine genaue Auflistung aller Fälle findet sich zB in

https://www.google.com/url?q=https://www.mathematik.uni-kl.de/~lassueur/en/teaching/EZTSS17/EZTSS17/Kap5.pdf&sa=U&ved=2ahUKEwiCyYq51dn1AhWSQ_EDHdlZB-4QFnoECAwQAg&usg=AOvVaw2QpsoibW-TSMKfYDHvCgOA

---

Vielen dank!

In einem Buch wurde erwähnt, dass eine Gruppe der Form (Z/p^2Z)* zyklisch ist. Bzw wurde in einem Beweis geschrieben, dass es einen Erzeuger gibt.

Leider wurde dieses Aussage nicht näher erklärt und ich verstehe nicht ganz wie man das schließen kann...

Answer 2

Allgemein gilt :

Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es genau eine zyklische Gruppe der Ordnung n.

Sie ist kommutativ und isomorph zur additiven Restklassengruppe modulo n.

Zu: Ist (Z/p2 Z)* immer zyklisch?

betrachte mal ein Beispiel, etwa (Z/9Z)* .

Da hast du ja  z.B. 3*-3=0 , also ist (Z/9Z)*

nicht mal eine Gruppe, da 0∉  (Z/9Z)*.

Comments

also ist (Z/9Z)* nicht mal eine Gruppe...

Natürlich ist (ℤ/9ℤ)^* eine Gruppe. Was du vermutlich meinst ist die Multiplikation in ℤ/9ℤ.

---

Ich kenne den hochgestellten * eigentlich als Zeichen für:

Alle ohne 0.

---

Hochgestelltes * heißt hier die Elemente, die ein Multiplikatives Inverses Element haben (die Einheiten)

---

\((Z/3^2Z)^*\) ist zyklisch; denn diese Einheitengruppe

wird von der Restklasse 2 erzeugt.

Answer 3

Die multiplikative Gruppe \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \cdot)\) ist immer zyklisch.

\((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \cdot)\) ist aber keine Gruppe, wenn \(n\) keine Primzahl ist.

Comments

Aber ich meine ja nicht einfach die mult. Gruppe, sondern nur die Einheiten davon?