Wie bildet man diese Stammfunktion?

Question

Aufgabe:

\( \int \limits_{0}^{1} \LARGE \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \)

Hallo ich muss diese Funktion integrieren. Ich habe allerdings Probleme die Stamfunktion zu bilden meines Wissens nach ist die Stammfunktion doch x^-1/3, wenn ich richtig liege. Die Lösung zeigt allerdings 3/2x^2/3. Wie geht man bei dieser Funktion vor?

Gruß

Answer 1

Aloha :)

$$\int\limits_0^1\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\,dx=\int\limits_0^1\frac{1}{x^{\frac13}}\,dx=\int\limits_0^1x^{-\frac13}\,dx=\frac{x^{\frac23}}{\frac23}+C=\frac32\,x^{\frac23}+C=\frac32\sqrt[3]{x^2}+C$$

Die Stammfunktion bildest du, indem du den Exponenten um Eins erhöhst und anschließend durch den neuen Exponenten dividierst.

Comments

Hallo vielen dank für deine Antwort! Ich hätte noch kurz eine Frage wie bist du auf den Doppelbruch gekommen? Hast du ein Potenzgesetzt angewendet was ich vielleicht nicht kenne?

Viele grüße

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Die Umformung der Wurzel dürfte bekannt sein: \(\sqrt[3]x=x^{\frac13}\)

Dann musst du wissen, dass ein Faktor über den Bruchstrich springt, indem sein Exponent das Vorzeichen wechselt: \(\frac{1}{x^{\frac13}}=\frac{x^{-\frac13}}{1}=x^{-\frac13}\)

Beim Integrieren wird des Exponent um 1 erhöht und anschließend durch den neuen Exponenten dividiert: \(x^{-\frac13}\to\frac{x^{\frac23}}{\frac23}\)

Durch einen Bruch dividiert man, indem man mit dem Kehrwert multipliziert: \(\frac{x^{\frac23}}{\frac23}=\frac32x^{\frac23}\)

Answer 2

f(x) = 1/(x^(1/3) = x^(-1/3)

F(x) = x^(-1/3+1)/(-1/3+1) = x^(2/3)/(2/3) = 3/2*x^(2/3) +C